Rieman parçalanmasıyla $f(x)=(1/3)^x$ integrali

1 beğenilme 0 beğenilmeme
69 kez görüntülendi

$f(x)=(1/3)^x$ fonksiyonunu $x\ge 0$ için aralıkların eni 1/2 cm olacak şekilde parçalanırsa degeri ne olur?


burada $\Delta x_k=\frac12$

parçalanma noktaları $x_0=0,x_1=\frac12,x_2=\frac22...x_k=\frac k2$


$[x_{k-1},x_k]$ aralıgında en büyük degerini $f(x_{k-1})$ en kücügünü  $f(x_{k})$'de alır


$S_{r}=\sum _{k=1}^{n}f\left( x_{k}\right) \Delta x=\dfrac {1} {2}\sum _{k=1}^n\left( \dfrac {1} {3}\right) ^{\dfrac {k} {2}}=\dfrac {1} {2}\dfrac {1} {\sqrt { 3}}\left( \dfrac {1-\left( \dfrac {1} {\sqrt {3}}\right) ^{n}} {1-\dfrac {1} {\sqrt {3}}}\right) $


büyük degeri icin $S_{l}=\sum _{k=1}^{n}f\left( x_{k-1}\right) \Delta x=\dfrac {1} {2}\sum _{k=1}^n\left( \dfrac {1} {3}\right) ^{\dfrac {k-1} {2}}=\dfrac {1} {2}\left( \dfrac {1-\left( \dfrac {1} {\sqrt {3}}\right) ^{n}} {1-\dfrac {1} {\sqrt {3}}}\right) $


şimdi bundan sonra $\lim _{n\rightarrow \infty } S_l \le\lim _{n\rightarrow \infty }R\left( f,P\right) \le \lim _{n\rightarrow \infty } S_r$ oldugunda  sag limit ile sol limit farkli cikiyor. 


cevap olarak  sol limit i yani $\dfrac {1} {2\left( \sqrt3 -1\right) }$ ü almış . acaba hata nerede?

12, Şubat, 2016 Lisans Matematik kategorisinde hayati (76 puan) tarafından  soruldu
12, Şubat, 2016 hayati tarafından düzenlendi

ust toplam k=0 dan baslamasi lazim..

hocam tam olarak anlamadım. şimdi alt toplamın $1/\sqrt 3$  üst toplam 1 degil mi ilk terimi

Ust_toplam=$S_{l}=\dfrac {1} {2}\sum _{k=1}^n\left( \dfrac {1} {3}\right) ^{\dfrac {k-1} {2}}=\dfrac {\sqrt{3}} {2}\left( \dfrac {1-\left( \dfrac {1} {\sqrt {3}}\right) ^{n}} {1-\dfrac {1} {\sqrt {3}}}\right)$

Alt_toplam=$S_{r}=\dfrac {1} {2}\sum _{k=1}^n\left( \dfrac {1} {3}\right) ^{\dfrac {k} {2}}=\dfrac {1} {2\sqrt{3}}\left( \dfrac {1-\left( \dfrac {1} {\sqrt {3}}\right) ^{n}} {1-\dfrac {1} {\sqrt {3}}}\right)$


Zaten en=$\Delta x=1/2$ sabitlendigi icin ut toplam herzaman alt toplamdan buyuk cikar bu soru icin.. 

Ust_toplam=Tam_Deger=Alt_toplam  olmasi icin $\Delta x$  sifira gitmesi gerek..

Ayrica orta degeri de alabilirsin.  Neden alt alindigina dair bir bilgi yok mu?

Ayrica orta degeri de alabilirsin.  Neden alt alindigina dair bir bilgi yok mu?

Okkes'in son cumlesine ek olarak sabit fonksiyon olursa da esit olabilir. Fakat bu ornek icin dedigi gibi.

...