$p$ asal iken $2^p-1$ şeklinde elde edilen asal sayılara $Mersenne Asalı$ denir. Buna göre aşağıdakilerden hangisi bu tarife uygun değildir ?

0 beğenilme 0 beğenilmeme
421 kez görüntülendi

$A)7$
$B)127$
$C)511$
$D)31$
$E)2047$

9, Şubat, 2016 Orta Öğretim Matematik kategorisinde mosh36 (2,125 puan) tarafından  soruldu

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$7=2^3-1$, $3$ asaldır.

$127=2^7-1$, $7$ asaldır.

$511=2^9-1$, $9$ asal değildir.

$31=2^5-1$, $5$ asaldır.

$2047=2^{11}-1$, $11$ asaldır.


9, Şubat, 2016 funky2000 (4,545 puan) tarafından  cevaplandı

Harika :) Hocam tek sorun üsleri nasıl düşüncez onun bir yöntemi var mı ?

$7=8-1=2^3-1$

$2047=2048-1=2^{11}-1$

vb

Hocam oralar tamam :) orayı anladımda sayıyı bulmak için mesela $2^{11}$ değerini kısa yoldan nasıl hesaplarım

$2$'nin üslerini de bilin artık. :)

1 beğenilme 0 beğenilmeme

"$2^n-1$ seklinde yazilan ve asal olan sayi" Mersenne asali.

$2^n-1$'in asal olmasi icin $n$ sayisinin da asal olmasi gerekir. Eger $n=ab$ seklinde ($a,b>1$) olarak yazilabiliyorsa $2^a-1$ ve $2^b-1$ bu sayiyi boler. Bunu gormek icin de $(x^{a})^b-1=(x^{a}-1)(x^{a(b-1)}+x^{a(b-2)}+\cdots+1)$  aciliminda $x=2$ koymak yeterli.

Simdi bu sayilardan sadece $C$ secenegindeki us ($9$) asal degil. Yani bu sayi kesinlikle asal olamaz.

Not: Ayrica diger uslerin asal olmasi sayinin asal olacagi anlamina gelmez ki asal olmayan ornekleri de mevcut. Bizim yukarida ispatladigimiz eger Mersene asali ise us asal olmali. Fakat ussun asal olmasinin sayinin da asal olacagini garantiledigini ispatlamadik. Zaten ispatlayamayiz da, cunku yanlis. Fakat bu seneceklerdeki asal usler icin sayilar da asal geliyor. 

Ters ornek olarak da: $2^{23}-1=8388607 = 47\times178481$.

10, Şubat, 2016 Sercan (24,065 puan) tarafından  cevaplandı

Elinize sağlık hocam :) 

...