Bir $(a,b,c)$ noktasının $x=y=z$ doğrusuna göre simetriği nedir?

0 beğenilme 0 beğenilmeme
125 kez görüntülendi

$xy$ düzlemdeyiz ve elimizde rastgele bir $(a,b)$ noktası var. Bu noktanın $x=y$ doğrusuna göre simetriğini bulmayı biliyoruz.

Şimdi de $xyz$ uzaydayız ve elimizde rastgele bir $(a,b,c)$ noktası var. Bu noktanın $x=y=z$ doğrusuna göre simetriği nedir?

29, Mart, 2015 Orta Öğretim Matematik kategorisinde Enis (1,075 puan) tarafından  soruldu

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
İki kez yanlış yaptıktan sonra döndürü matrisleriyle doğrusunu yazayım. Bu haliyle ortaöğretim değil de lisans sorusu gibi olacak bu ama.

Yapacağımız şu: $(1,1,1)$ eksenini döndürerek $x$ ekseni ile çakışık hale getireceğiz, sonra simetriyi $x$ eksenine göre alacağız, sonra tekrar döndürerek $x$ eksenini $(1,1,1)$ eksenine çevireceğiz.

$x$ eksenini $(1,1,1)$ yönüne çevirmek için, önce $z$ ekseni etrafında 45 derece, daha sonra yeni $y$ ekseni etrafında $\theta$ kadar döndürmek gerekir. Burada $\theta$, $(1,1,1)$ vektörünün $xy$ düzlemi ile yaptığı açı. Yani $\displaystyle \cos{\theta}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ ve $\displaystyle \sin{\theta}=\frac{1}{\sqrt{3}}$.
Döndürü matrislerini yazalım:
$\displaystyle D_y=\left( \begin{array}{cc} \cos{\theta} & 0 & -\sin{\theta} \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin{\theta} & 0 & \cos{\theta} \end{array} \right)$
$\displaystyle D_z=\left( \begin{array}{cc} \cos{45} & -\sin{45} & 0 \\ \sin{45} & \cos{45} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$
$x$ eksenine göre simetri matrisi de şu:
$\displaystyle S_x=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{array} \right)$
Bunlar orthogonal olduğu için tersleri simetriklerine eşittir. Artık simetriyi bulabiliriz:
$D_zD_yS_xD_y^ {-1}D_z^{-1} \left( \begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -a/3+2b/3+2c/3 \\ 2a/3-b/3+2c/3 \\ 2a/3+2b/3-c/3 \end{array} \right)$


30, Mart, 2015 kerem.altun (121 puan) tarafından  cevaplandı
30, Mart, 2015 kerem.altun tarafından düzenlendi

sonuç çok karmaşık çıkmadığına göre herhalde daha basit bir yolu vardır.

Aslında soru orta öğretim sorusu mu, bilmiyorum. İlk bakışta kolay gibi duruyor ama belli ki değil. Ben de beceremedim temel araçlarla. Eminim ince bir noktası vardır.

...