Analitik fonksiyonlarin kapali bir egri uzerindeki integrali neden sifir?

0 beğenilme 0 beğenilmeme
103 kez görüntülendi

Analitik fonksiyonlarin kapali bir egri uzerindeki integrali neden sifir? ve analitik olmazsa sifir olamayan bir integral ornegi var mi?

29, Mart, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Sercan (23,218 puan) tarafından  soruldu
19, Nisan, 2015 ayhandil tarafından düzenlendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Analitik fonksiyonlarin kapali bir egri uzerindeki integrali her zaman sifir degil.

Ornegin $\frac{1}{z}$ fonksiyonu $\mathbb{C} \setminus \{0\}$ kumesinde analitik. $\gamma : [0,1] \to S^1$ egrisi de $\gamma(t) = e^{2\pi i t}$  ile verilen egri olsun. O zaman,

$$\int_\gamma \frac{1}{z}dz = \int_0^{1} \frac{1}{e^{2\pi i t}}2\pi i e^{2 \pi it}dt = 2\pi i \int_0^1 dt= 2\pi i.$$

Bu ikinci soruna da cevap. $\frac{1}{z}$ fonksiyonu $\mathbb{C}$ uzerinde analitik degil, sifir olamiyor. 

Ilk sorunu once duzeltip, sonra cevaplayabiliriz:

Cauchy Integral Teoremi: $U \subseteq \mathbb{C}$ basit baglantili bir acik kume olsun ve $f: U \to \mathbb{C}$ analitik olsun. $\gamma$ egrisi de $U$ icinde bir kapali egri olsun (her kapali egri icin de dogru oldugunu dusunmuyorum, cilgin egriler almamamiz lazim.). O zaman, $f$' nin $\gamma$ uzerindeki integrali sifirdir.

Bunu gostermekle sunu gostermek ayni sey:

Cauchy Integral Teoremi ( Versiyon 0): $U \subseteq \mathbb{C}$ basit baglantili bir acik kume olsun ve $f: U \to \mathbb{C}$ analitik olsun. $a, b \in U$ ve $\gamma_1, \gamma_2$ egrileri $a$'da baslayan $b$'de biten (ve $U$'nun disina cikmayan) iki egri olsun. O zaman $f$'nin $\gamma_1$ uzerindeki integrali ile $\gamma_2$ uzerindeki integrali aynidir. Yani, integral iki noktaki arasindaki yoldan bagimsizdir.

Neden bu iki teorem birbirine denk? Cunku her kapali egriyi su sekilde iki parcaya ayirabiliriz: $a$ ve $b$ noktalari, $\gamma$ egrisi uzerinde iki farkli nokta olsun. O zaman $\gamma$, $a$'dan $b$'ye giden ve $b$'den $a$'ya giden iki egrinin toplami olarak yazilabilir. 

Ikinci teoremi ispatlamak icin de cok bir sey gerekmiyor. Kalkulus'ten Green teoremi ve analitiklik icin Cauchy-Riemann denklemleri yeterli. Fonksiyonumuzu $f = u + iv$ ve holomorfik formumuzu $dz = dx + i dy  $ olarak yazarsak eger, integrali yazdigimiz ve reel-karmasik parcalarina ayirdigimiz zaman sonuc kendiliginden cikiyor.


18, Nisan, 2015 Ozgur (2,099 puan) tarafından  cevaplandı
...