Asal sayi mi? $9999999999999999999999\cdots$

0 beğenilme 0 beğenilmeme
459 kez görüntülendi

Soru asagidaki farkli sayiyi bulmamiz olsa cok kolay olurdu. Fakat soru bu sayinin asalligi ile ilgili. Asagidaki $506$ basamakli sayinin asal oldugunu nasil gosterebiliriz?

Yaklasim: Sayiyi $10^{506}-10^{253}-1$ olarak yazabiliriz. Eger $x=10^{253}$ dersek $x^2-x-1$ carpanlarina ayrilmiyor, bu guzel ama bana asalligi hakkinda bir bilgi vermiyor. Bu sayinin asal olup olmadigini nasil gosterebiliriz?

 $$9999999999999999999999999999999999999999999999$$$$9999999999999999999999999999999999999999999999$$$$9999999999999999999999999999999999999999999999$$$$9999999999999999999999999999999999999999999999$$$$9999999999999999999999999999999999999999999999$$$$9999999999999999999999899999999999999999999999$$$$9999999999999999999999999999999999999999999999$$$$9999999999999999999999999999999999999999999999$$$$9999999999999999999999999999999999999999999999$$$$9999999999999999999999999999999999999999999999$$$$9999999999999999999999999999999999999999999999$$
 
Duzenleme: Bu sayinin akademik olarak (/yontemlerle) nasil asal diyebilecegimizi merak ettim. "Hangi $m>0$ tam sayilari icin $10^{2m}-10^{m}-1$ sayisi asal olur?" sorusunun cevaplarini nasil bulabiliriz?

Bu nedenle kategoriyi akademik'e ceviriyorum.

27, Ocak, 2016 Akademik Matematik kategorisinde Sercan (23,213 puan) tarafından  soruldu
1, Şubat, 2016 Sercan tarafından yeniden kategorilendirildi

Dikkat!  Verilen sayı içinde 8 rakamı da var.

Ilk cumlede bunu belirtmek istedim: "Soru asagidaki farkli sayiyi bulmamiz olsa cok kolay olurdu." Zaten verilen sayi degeri de hangisinin $8$ oldugunu veriyor.

Hocam bu 506 rakamı cidden teker teker yazdınız mı? :)

Yaklaşımda  -1 yerine +1 mi olacaktı?

Once $5$ tane yazdim, sonra kopyala-yapistir ile $23$ tane, sonra $46$ tane yaptim, sonra yine kopyala-yapistir.

$506$ basamakli $9$ icin $10^{506}-1$ ve bir adet $9$'u $8$ yapmak icin $-10^{253}$.

Bir tane olan $8$'i keşke renkli yazsaydınız. Dikkati çekerdi.

Renkli yainca LaTex kobu bozuluyor, denedim. Kutu icinde yazdim, o zaman da sayinin gorselligi bozuluyor.

Bu vereceğim linkteki Palinromic Wing Primes kısmına benzer bir denklem, ama arada bir fark var. Bu sayfayı incelerseniz cevabı alacağınızı umut ediyorum.

https://en.m.wikipedia.org/wiki/List_of_prime_numbers

Bu sadece liste, soru asallığının ispatı hakkında.

Palinromic Wing Primes diye bir yer var bu denkleme benzer o gözüme ilişti de o yüzden paylaştım.

Primes of the form \frac{a \big( 10^m-1 \big)}{9} \pm b \times 10^{\frac{ m-1 }{2}} with 0 \le a \pm b < 10.[14] This means all digits except the middle digit are equal.

Evet, o sınıfa dahil(miş). Teşekkürler ilgilendiğin için. Böyle bir sınıf adı olduğunu bilmiyordum.

Bu cevap degil yaliniz. Site dili de Turkce.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
Tam bir cevap olmayacak ama. Sayi $2^{253}(50^{253}-5^{253})-1$ seklinde yazilabilir. $N = k*2^n - 1$ seklinde yazilabilen butun sayilarin asalligina Lucas-Lehmar-Riesel testi ile karar verilir. bu durumda $k = 0 (mod 3)$ oldugundan LL testinin baslangic ($u_0$) degerine karar vermek kolay degil. Bu sayi ile ilgili aklima gelen tek test bu. Asallarin dagilimi ile ilgili birsey bilmedigimizden m sayilarini hesaplaminin tek yolu LLR testi ile deneyerek bulmak.
5, Şubat, 2016 Learath2 (24 puan) tarafından  cevaplandı
5, Şubat, 2016 Learath2 tarafından düzenlendi

Dediginiz gibi $k2^n-1$ formunda olmasi gerekir sayilarin ve burada $2^{253}>(50^{253}-5^{253})$ olmasi gerekir, ki degil. Lucas asallik testi daha uygun dusebilir bu soru icin hatta. Fakat ben cok etkili "efficient" goremedim. Cunku $q-1$'in tum asal carpanlarini iceren islemler yapmak gerekecek. Aslinda asal pek buyuk degil, $q-1$ carpanlari ise

$\{\{2, 1\}, \{11, 2\}, \{23, 2\}, \{47, 1\}, \{139, 1\},\{2531, 1\}, \{4093, 1\}, \{8779, 1\}, \{6866927, 1\}, \{549797184491917, 1\}$ , 

$\{34823500348877655362343206477378708307857041186406012214\cdots, 1\}\}$

Yeterince fazla. Fakat en etkilisi ya da cok hizli bulabilecek bir algoritma var mi? $m$ arttikca...

...