$(111\cdots101\cdots111)_2$ sayılarından kaç tanesi asaldır?

Question

$a_n$ terimi başında $n$ tane $1$, ardından $0$ ve sonunda $n$ tane $1$ olan $2$ tabanındaki sayının $10$ tabanındaki değeri olsun. Bu sayılardan kaçı asaldır?

Yaklaşım olarak ilk önce bir kaç terim yazdım: $a_1=(101)_2=5$, $a_2=(11011)_2=27$, $\cdots$. Gördüm ki sadece ilk terim asal. Tabi ileride başka asal sayılar da olabilir. Asal olmadığını göstermek için iki adet birden büyük çarpan bulmalıyız. Bunu nasıl bulacağız? Ya da başka bir yöntem var mı?

Comments

"Binary", yani $2$ tabaninda, olmasi disinda bir bag kuramadim, verilen pdf ile. Bu soru ek kaynaklara tasinacak kadar zor degil. 

Answer 1

$a_n=(111...101...111)_2=(2^{2n}+2^{2n-1}+...+2^{n+1}+2^{n-1}+2^{n-2}+...+2+1)_{10}$

$=(2^{n+1}(2^{n-1}+2^{n-2}+...+2+1)+(2^{n-1}+2^{n-2}+...+2+1))_{10}$

$=((2^{n+1}+1)(2^{n-1}+2^{n-2}+...+2+1))_{10}$ olur. Görüldüğü gibi birden farklı iki çarpanı vardır. O halde ilk terim hariç hiç bir terimi asal değildir.

Answer 2

$a_n=2^{2n+1}-2^n-1=(2^n-1)(2^{n+1}+1)$ olarak yazilabilir. Asal olabilmesi icin $2^n-1=1$ olmali, yani $n=1$ olmali.