$G$ bir grup, $N \trianglelefteq G$ olsun. $N$ devirli ise $N$'nin her altgrubu da $G$ içinde normal altgruptur, gösteriniz.

0 beğenilme 0 beğenilmeme
114 kez görüntülendi


16, Ocak, 2016 Lisans Matematik kategorisinde merve kaya (1,025 puan) tarafından  soruldu

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$N=<x>$ olsun ve $j>0$ tam sayi olsun. Bu durumda $gx^jg^{-1}=(gxg^{-1})^j$ olur. Bu gostermen gereken icin yeterli. $N$ devirli grubunun altgruplarinin $<x^j>$ seklinde olacagini kullanacagiz sadece.

16, Ocak, 2016 Sercan (23,864 puan) tarafından  cevaplandı

Tesekkur ettim :)

Her devirli grup değişmelidir teoremine göre $N$ normal alt grubu da değişmeli olur. Her değişmeli grubun alt grubu da değişmelidir teoremine göre de $N$ nin her alt grubu değişmeli olur. Son olarak da, Değişmeli bir grubun her alt grubu da normal alt gruptur teoremine göre $N$ nin her alt grubu normaldir, deriz. 


Burada $N$ alt grubunun normal alt grup olduğunun verilmesine gerek yoktur. $N$ alt grubu devirli verilince, yukarıda belirttiğimiz teoremlerden dolayı değişmeli ve normal olmak zorundadır.




Not: Atladığım bir nokta olabilir, $ A \trianglelefteq B $ ve $B\trianglelefteq C $ iken $A \trianglelefteq C $ oluyor mu? Bunu araştırmadım. Normal alt grup olma bağıntısı geçişken ise, verdiğim ispat doğru olur. Değilse, ispat eksik kalır. (Bu halde cevabımı yoruma dönüştüreyim, uyarırsanız sevinirim).

Normal alt grupta geçişme özelliği yokmuş. Kaynak olarak Ali Nesin Temel Grup Teorisi sayfa 123, not 9.7 ye bakılabilir. 

...