$n>1$ tam sayisi icin $\sum \limits_{k=1}^n \frac1k$ tam sayi olamaz.

2 beğenilme 0 beğenilmeme
28 kez görüntülendi

Ispatlayiniz: $n>1$ tam sayisi icin $\sum \limits_{k=1}^n \frac1k$ tam sayi olamaz.

10, Ocak, 2016 Orta Öğretim Matematik kategorisinde Sercan (23,218 puan) tarafından  soruldu

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Kendimce basit anlasilacagini dusindugum bir ispat yazacagim. Daha degisik ispatlari da mevcut.

$n$'den kucuk en buyuk $2$'nin kuvvetini alalim, bu sayi $2^k$ olsun. Bu durumda toplami $2^{k-1}$ ile carparsak $-\frac12$ sayisi tam sayilar ve paydalari tek olan sayilar tarafindan yazilmasi gerekecek. Bu da imkanli degil. Imkansiz oldugunu gormek de zor degil.

23, Ocak, 2016 Sercan (23,218 puan) tarafından  cevaplandı

İspatta, bu $2^{k-1}$ ile çarptıgımız $1/2^{k}$'yı  toplam ile yer değiştirdik ve ;

$\dfrac{-1}{2}=\dfrac{\sum a_i b_i}{\prod_{b_i}}$  durumunu kullandık ve $2\neq \prod_{b_i}$

$b_i$'ler tek oldugu için mi dedik?

notasyonlarina ne anlam verdin tam anlamasam da $2 \mid (\text{tek sayilar})$ gelecek ve celiski elde edecegiz. 

...