$f=x^3\chi_{\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}}+\chi_{\mathbb{Q}}$ fonksiyonu $[0,1]$ aralığında integrallenebilir mi?

1 beğenilme 0 beğenilmeme
72 kez görüntülendi

(Riemann integrali)

---

$\chi$ ile karakteristik fonksiyonu gösteriyorum, yani bu sembolün altına yazılan kümedeki elemanların görüntüsü $1$, diğer elemanların görüntüsü $0$.

29, Aralık, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Enis (1,072 puan) tarafından  soruldu

$f(x)=\begin{cases}1\ \ \quad x\in\mathbb{Q}\\x^3\quad x\notin\mathbb{Q}\end{cases}$ olup, 1 dışında her sayıda süreksizdir.

Alsinda  $x^3$ yerine $x$ yazildiginda standart Riemann integrali olmayan ornege donusuyor.

2 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Doğan hocanın yorumuyla beraber, işlem yapmadan integrallenmez olduğu sonucunu çıkartabiliriz. 

18, Şubat, 2016 Safak Ozden (3,393 puan) tarafından  cevaplandı

Littlewood'un inkici prensibi gereği.

İkinci prensip der ki, ölçülebilir fonksiyonlar neredeyse süreklidir.

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Alt toplam ile ust toplam farkli geleceginden cortlar. Alt toplam $0$ ile $1$ arasinda $x^3$'un integraline ve ust toplam da $1$'in integraline esit olur. Biri $1/4$, degeri $1$.

18, Şubat, 2016 Sercan (23,208 puan) tarafından  cevaplandı
...