Eğer $r<p<s$ ise o zaman $||f||_p\leq \text{max}(||f||_r,||f||_s)$ olur.

2 beğenilme 0 beğenilmeme
106 kez görüntülendi

$f$, $X$ üzerinde karmaşık (complex) ölçülebilir (measurable) bir fonksiyon.

Üzerinde integral aldığımız ölçü (measure) pozitif.

---

Real and Complex Analysis, Walter Rudin, 3. Bölüm, 4. Soru, (d) şıkkı

28, Aralık, 2015 Akademik Matematik kategorisinde Enis (1,056 puan) tarafından  soruldu
28, Aralık, 2015 Enis tarafından düzenlendi

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

$\left\Vert f\right\Vert _{r}=\infty $ veya $\left\Vert f\right\Vert_{s}=\infty $ ise kanıtlanacak bir şey yoktur. O halde  $\left\Vert f\right\Vert _{r}<\infty $ ve $\left\Vert f\right\Vert _{s}<\infty $ olduğunu varsayalım. $M=\max \left\{ \left\Vert f\right\Vert_{r},\left\Vert f\right\Vert _{s}\right\} $ koyalım. $r<p<s$ olduğuna göre $t_{1}=\frac{s-p}{s-r}>0$, $t_{2}=\frac{p-r}{s-r}>0$ koyalım. 

$t_{1}+t_{2}=1$ ve $p=t_{1}r+t_{2}s$ dir. O halde Hölder eşitsizliğinden


$\left\Vert f\right\Vert _{p}^{p}=\int\limits_{X}\left\vert f\right\vert^{p}d\mu=$

$ \int \limits_{X} \left\vert f\right\vert ^{t_{1}r} \left\vert f\right\vert ^{t_{2}s}d\mu $


$\leq (\int \limits_{X} \left\vert f \right\vert ^{{t_{1}r}  \frac{1}{t_{1}}}) ^{t_1} (\int \limits_{X} \left\vert f \right\vert ^{{t_{2}s}  \frac{1}{t_{2}}}) ^{t_2}  $

$=(\left\Vert f\right\Vert _{r})^{t_1}(\left\Vert f\right\Vert _{s})^{t_2} $

$\leq M^{t_1+t_2} =M$

Buradan

 $\left\Vert f\right\Vert _{p}\leq M=\max \left\{ \left\Vert f\right\Vert_{r},\left\Vert f\right\Vert _{s}\right\} $ elde edilir.

9, Ocak, 2016 UnluYusuf (510 puan) tarafından  cevaplandı
9, Ocak, 2016 UnluYusuf tarafından düzenlendi
...