Topolojinin günlük hayatta kullanım ve uygulama alanları nelerdir?

0 beğenilme 0 beğenilmeme
736 kez görüntülendi


16, Mart, 2015 Serbest kategorisinde havin (27 puan) tarafından  soruldu

3 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Kahve saati topolojisi: açık kümeler $[a,b]$ ya da $(a,b]$ ya da ...

Bunun dışında kalan saatler topolojisi: açık kümeler $(-\infty,a) \cup (b,\infty)$ ya da ...

Burda bir adet kahve saati kullanldı. Ama Odtü matematiğin arka kapısına giderseniz bu topolojilerin gelişmiş halini akademisyenler yardımıyla görebilirsiniz.. Benim hayatımın çogu bu topoloji içinde geçti..

Daha ulvi bir uygulama alanı olacağını düşünmüyorum..

16, Mart, 2015 Sercan (22,324 puan) tarafından  cevaplandı
TıP ,fizik ve bilgisayar alanında da uygulama alanları yokmu ki? Bu arada cevap için teşekkürler..
Onlar icin ici dolu bir cevabim yok. Fakat cebirsel geometri Zariski Topolojosinde calisiyor ve kriptolojide cebirsel geometri kullaniliyor. Bu sonuclar da tabi uygulamaya dokuluyor. 
2 beğenilme 0 beğenilmeme

Benim bildiğim/bulduğum örnekler şöyle:

- Zaten  (cebirsel, küme-teoriksel, kombinatoriksel) topolojinin mucidi olan  Poincaré tarafından  klasik mekanik/ astronomiye uygulamasıyla olusan dinamik sistemler teorisi.

-Genel görecelilik, yantıkız(1)  ve Hausdorff(2) çokkatlıları(3) üzerinde yapılıyor.
(3): tanımı  hissetiğimiz $\mathbb{R}^4$'ü açıklayabiliyor ama daha genel, ayrıca bir koordinat sistemi=haritaya ihtiyacımız var.
Bence 3'ü seçince 1,2 normal olan, hatta 1 cılız kalıyor gibi ama daha somut olarak
(1): çokkatlı çok büyük olmasın, yüksek sayılabilir olsun, üzerinde Riemann metriği ve birin ayrımı olsun-> üzerinde tümlev (kolaycana) tanımlanabilsin diye.
(2): hımmm...  doi:10.1016/S1871-1774(08)00010-7. Bir soruyla ilgili:Yantıkızlık hakkında sorular
İronik olarak topoloji sansür teoremine göre (eğer şartları sağlanıyorsa) genel görecelilikte uzayzaman çokkatlısının en altta yatan topolojısinin ne olduğunu -teorik olarak- ölçmemiz mümkün değil.

-Kuantum mekaniğindeki Aharonov-Bohm etkisi

-Yoğunlaşmış madde fiziğinde maddenin topolojik halleri/hal geçişleri/ topolojik periyodik cetvel, topolojik iletken, yalitkanlar vs.
 
-Topolojik kuantum alan teorisinde anyonlar -> topolojik kuantum hesaplamaları/ bilgisayarı

-Yoldan geçerken "işte o doğru teori süpersimetri!" diye bağıran sicim/ kuantum alan teorisi fizikçileri.

-Yerelleştirilmiş bakışım kuramında yani (neredeyse) bütün fizikte topolojik değişmezler deyip kurtulabilirim.

Fizikten ayrı olarak:

Dügüm/çizge teorisinde (geometrik topoloji) Königsberg problemi, dört renk teoremi, Betti sayıları.

Bilgisayar biliminde küme-teoretik topolojik programlama (hem de sezgisel mantıkta Curry-Howard eşdönüşümü), elektronik devre tasarlarken topolojik ağ analizi.

Bir de adı üstünde uç ornek, standart olmayan analizde hipergerçeller.

27, Temmuz, 2015 fiziksever (1,138 puan) tarafından  cevaplandı

+1 "Iste o dogru teori supersimetri!!" diye bagiran fizikcilere buradan selam olsun.

Begeni butonu daha da calismiyor mu sende, Ozgur?

Valla calismiyor. Yetkililere iletttim durumu, sorun cozulurse hepinizi begeniye bogucam. O zamana kadar oldskool forum tarzi +1.

2 beğenilme 0 beğenilmeme
Orta seviyede Ingilizceniz ve yaklasik bir saatiniz varsa sunu izleyebilirsiniz: http://drorbn.net/dbnvp/ClassroomAdventures-1308.php (Dror Bar-Natan'in Haritalar, Makineler ve Hamambocekleri uzerine 2013 tarihli konusmasi)

Ya da bunu (ayni konusma, bu sefer 2014 yilinda, burada tahtaya yakinlasabiliyorsunuz, bu daha iyi): http://www.fields.utoronto.ca/video-archive/2014/11/232-4108)

Elinizde bir akilli telefon olsun. Selfie cekmek istiyorsunuz. Selfie cekmenin yazili olmayan kurallarindan bir tanesi de elinizin hic kirilmamasi gerektigidir, yani kolunuzu hic bukmeyeceksiniz. Yerinizden de kimildayamazsiniz. Ama dilerseniz kendi ekseniniz etrafinda donebilir, arkaplani ya da gunes isinlarinin gelis acisini ayarlayabilirsiniz. (Ya da kolunuz disindaki vucudunuzun bir nokta oldugunu ve kolunuzu 360 derece dondurebildiginizi dusunun). Soru: Elinizdeki telefon nerelere gidebilir? Bunu gercekten elinize bir telefon alip yapabilirsiniz mesela su an. Cevaba bakmadan. (Yapiyor musunuz?). Goreceksiniz ki telefonun gidebilecegi butun noktalarin kumesi bir cember olusturuyor.
Bu cok zor degildi.
Simdi elimizde bir selfie cubugu olsun. Kolumuzu yine bukmuyoruz ve selfie cubugunu kolumuzdan kisa almisiz niyeyse (Bunun yerine kolumuzu dirsekten buktugumuzu de dusunebiliriz, sonucta istedigimiz bukulmeyen, bir eklem noktasinda birlesen ve bu eklem noktasinda oynayabilen iki kati cubuk). Telefonu selfie cubuguna taktik. Soru: Selfie cubugunun ucundaki telefon nerelere gidebilir? Bu biraz daha zorlu bir soru. Ama yine de cok zor degil. Biraz deneyerek sunu gorebilirsiniz: Oncelikle durdugumuz yerde, parmaklarimizin ucunda selfie cubugunu 360 derece cevirebilecek kadar yetenekli oldugumuz icin kolumuzun gittigi her noktada elimizde bir cember var demektir. Kolumuzun gidebildigi yerler de bir cember seklinde. Bu durumda telefonun bulunabilecegi butun noktalarin kumesi bir simite benziyor. 

En bastaki videoda Dror Bar-Natan, benim selfie ornegim yerine biraz daha korkutucu bir ornek kullaniyor. Sabit bir nokta (hamambocegi) ve hamamboceginin kollari. Benim ornegimi, bir, bir bucuk, iki, iki bucuk, uc, uc bucuk, dort, bes kolla yapiyor ve hamamboceginin uzanabilecegi butun noktalarin kumesine bakiyor (iki bucuk kol, benim ornegimde 3 kol ve iki selfie cubuguna denk geliyor. Benim 1kol+selfie cubugum, onun 1 kolu.). Bzen, hamamboceginin kollarindan birinin ucuna bir civi cakiyor ve kolu sabitliyor, sadece dirsegi oynatmasina izin veriyor. Hamambocegi ile oynuyor. Ha bu gunluk hayatta ne isime yarayacak diyorsan, hamambocegi yerine robotlari, makineleri dusunebilirsin.

Ne kadar az parca kullanarak, ne kadar az para harcayarak fabrikamda belirli bir bolgeye hakim olacak bir robot uretebilirim? Bu gayet endustriyel bir soru sanirim.

Topolojiyi kullanarak robot kollarinin (hamambocegi kollarinin, selfie cubuklu insan kollarinin) gidebilecegi yerlerin kumesini (uzayini) matematiksel olarak bulabiliyoruz. Bu uzaylarin -ki bunlar bir nevi moduli uzay aslinda- birbiriyle ayni olup olmadiklarini, birbirinden ne kadar farkli olduklarini matematiksel olarak olcebiliyoruz. Dogrusunu soylemek gerekirse bunlari artik biz bile yapmiyoruz, bunlari nasil yapacagini bilgisayara ogretiyoruz. O yapiyor. 

Son birkac soz de (3 paragraf oldu) yukaridaki paragraftaki "birbiriyle ayni olup olmadiklari" ile ilgili soylemek istiyorum. Topolojinin yaptigi ve cok iyi yaptigi islerden birisi bu. Elimizde bir takim uzaylar var, ve biz bunlari siniflandirmak, birbirinden ayirt etmek istiyoruz. Bunun icin bazi ozellikler tanimlayip (baglantililik, tikizlik, yol bagintiliilk, ayristirilabilirlik, delik sayisi vs), "Dur bakalim, elimdeki uzay bu ozelligi sagliyor mu? Ne kadar sagliyor?" diye soruyoruz. Bu ozellikler homeomorfizma altinda korunuyor mu, buna bakiyoruz. Eger homeomorfizma altinda korunan bir ozellik bir uzayda saglanip diger uzayda saglanmiyorsa, bunlar ayni uzay olamazlar diyoruz.

Mesela reel sayilar uzayindan bir nokta cikardigimizda baglantisiz bir uzay elde ederken duzlemden bir nokta cikardigimizda baglantili bir uzay buluyoruz. Demek ki duzlem ve dogru ayni seyler degiller. Peki $\mathbb{R}^n$ ile $\mathbb{R}^{n+1}$ genel olarak ayni olabilirler mi? 4 boyutlu bir uzayin bir acik yuvariyla, 9 boyutlu bir uzayin acik yuvari homeomorf olabilir mi? Bunun icin baya baya topoloji bilmek gerekiyor.

Mesela $\mathbb{R}^2$ ile kure ayni seyler degiller cunku biri tikiz degil iken digeri tikiz. $\mathbb{R}^2$ ve $\mathbb{R}^2 - \{ 0,0 \}$  de ayni degiller. Burada ikisi de tikiz degil ve ikisi de baglantili, yol baglantili vs.. Bunun icin baska bir ozellik bulmamiz lazim. Sunu dusunebiliriz: $A = \mathbb{R}^2$ ve $\mathbb{R}^2 - \{0.0\}$ uzaylarina iki kisi yerlestirelim (diyelim (1, 0 ) noktasina indirdik bu kisileri) ve bu iki kisinin ellerine birer ip verelim bir ucu (1,0) noktasina sabit olan (burada hayal gucunu kullanmak isteyenler yabanci iki gezegende iki astronot dusunebilir, bu astronotlar uzay aracina bagli, uzay araci (1,0) noktasinda). Bu iki kisiyi once (0,1) noktasina, sonra (-1, 0) noktasina, sonra (0,-1) noktasina yurutup tekrar (1,0) noktasina getirelim. $A$'daki kisi geri dondugunde elindeki ipi cekistirerek tekrar toplayabilir. Ama $B$'deki kisi bunu yapamaz cunku ip geri donebilmek icin orijinden gecmek zorunda ama $B$'de orijin yok (Mesela bir kazik var! ve ip o kaziga takiliyor). Burada gosterilmesi gereken sey o ipin o orijinden mutlaka gecmesi gerektigi, baska turlu geri donemez. Hooooop topoloji. Ayni seyi kurede yapalim. Kure uzerinde nereye gidersek gidelim, geri dondugumuzde elimizdeki ipi toplayabiliriz. $\mathbb{R}^2$'de de toplayabiliyoruz! Ama bunlar yine de ayni uzay degiller, cunku baska bir ozellik olan tikizlik konusunda ayri yere dusuyorlar.
27, Temmuz, 2015 Ozgur (1,937 puan) tarafından  cevaplandı

Ilk ornekte kolumu sadece yere paralel hareket ettirebilecegimi dusunmusum niyeyse. Tabii ki istersem bir kure cizebilirim.

Sadece "kolun yere paralel olması" problemi değil, başka problemler de var metinde:
$\bullet$ "...elinizin hic kirilmamasi..." ... Kolumuzun olacak sanıyorum.
$\bullet$ Selfie çubuklu problemde, kolumuzu bilekten de bükmek zorundayız. Çubuğu başka nasıl hareket ettireceğiz? Üstelik cevabın simit çıkması isteniyorsa, bileğimizi $360^{\circ}$ döndürme yeteneğine sahip olmamız gerekiyor. Benim bileğim öyle değil, dirsek ve omzum da devreye giriyor.
$\bullet$ "Ne kadar az parca kullanarak, ne kadar az para harcayarak fabrikamda belirli bir bolgeye hakim olacak bir robot uretebilirim?" 2 ve 3 boyutlu hassas, standart CNC (computer numerical control.) torna tezgahları var, çok da ucuz artık. Soru şöyle mi acaba: "...belirli bir bölgeye ve yalnızca oraya hakim olacak..."?

Bir gözlemimi paylaşmak istiyorum: kuramın "uygulaması" tasvirinde çok popülerleştirirsek, yanlış anlamaların kapısını da açıyoruz.

Evet, baya problem var. Farkindaydim ben de.

Gozleme de katiliyorum. Ben annemin anlayabilecegi bir sekilde yazmak istedim, ama onun yeri burasi degil belki de.
Yorum icin tesekkurler.
...