Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.3k kez görüntülendi


Orta Öğretim Matematik kategorisinde (1.8k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 1.3k kez görüntülendi
soru başka bir platformda,matematik geometri, sorulmuş bugün ben oradan aldım 

5 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Yanıt: 1,5.

İpucu:  Fonksiyona, 3=1+1+1 ekle ve “Aritmetik Ortalama-Harmonik Ortalama” eşitsizliğini uygula.

(623 puan) tarafından 

Cevap verenden bi ortalama esitsizligi bekliyordum zaten hocam :) cozum de guzel olmus, elinize saglik.

0 beğenilme 0 beğenilmeme
x,y,z > 0 ve x+y+z=1 dendiği halde, x≠y≠z denmediği için, x=y=z kabul edilebilir. Bu durumda da, 0'dan büyük en küçük tamsayı değeri olan 1'i seçer ve x=y=z=1 dersek;

(2-1)/(3+1) + (2-1)/(3+1) + (2-1)/(3+1) = 3 * (1/4) = 3/4 elde edilir...
(39 puan) tarafından 
Basit bir hata olarak: $x=y=z$ ise $=1/3$ olur.

Asil sorum: Bu durumun minimal degeri verecegini nasil bilebiliyoruz?

ooo... x+y+z=1'i nasıl atladım... bu durumda x,y ve z kesinlikle tam sayı olaMaz, kesirli sayıdırlar.


x+y+z=1 olduğu için, bu değişkenlere verilen değer ne olursa olsun, toplam 1 olmak zorunda, yani sonuç olarak seçebileceğin en küçük x ve y değerine karşılık, z değeri, x+y'yi 1'e tamamlamak için artırılmak zorunda ve verilmiş olan denklemde, x, y ve z'nin kullanıldığı parçalar eşdeğer olduğu için, x=y=z seçilmesi en mantıklı seçenek.

fakat, örneğin yukarda verilen denklem değil de, x'in denkleme katkısının daha büyük olduğu başka bir denklem verilmiş olsaydı, o zaman x'i en küçük olacak şekilde seçebilirdik. mesela;
2x + (2-y)/(3+y) + (2-z)/(3+z) 

aşağıdaki grafikte, (2-x)/(3+x)'i çizdirdim, bu denklemde, 0 < x < 1 iken, denklemin değeri de 0-1 arasında oluyor. bu durumda, soruda verilen denklemin en küçük değeri, x=y=z=1/3 olduğu değer olmalı.

image


Tabi olay simetrik oldugundan, ilk bakista bu gozlem hakli.. Buna kesinlikle bir sey demiyorum. Sorum su: bu matematiksel mi? Ya da soyle sorabilirim: Su durumlarda kesin kez esit olmalilar diyebilir miyiz? ve bunlar esitken neden en buyuk degeri degil de, en kucuk degeri veriyor? bu da ayri bir yonu..

Soruya ilk baktigimda $10$ saniye icinde bir cevap vermelisin deseler, bende $1/3$ koyardim hepsine ama matematiksel olmazdi, hissel olurdu..

evet, haklısın, matematiksel değil... matematiksel olabilmesi için, acaba ispat yöntemlerini mi denemek gerekir? en basit ispat yöntemi, deneme yöntemi olabilir. bu durumda, bir tablo yaparak, değerleri bir kontrol edelim. küçük bir program yazılabilir. yazdım :) sonuç, eşit olduklarında en düşük değere ulaşılıyor.

image

Deneme yontemi test yontemidir. Kullanmadim diyemem ama bunun matematiksel oldugunu da iddia etmedim :)

öğreniyorum, yapacak birşey yok :)

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$\frac{2-x}{3+x}=-1+\frac{5}{3+x}$ diğer ifadeleride benzer şekilde elde edersek $$\frac{2-x}{3+x}+\frac{2-y}{3+y}+\frac{2-z}{3+z}=-3+5(\frac{1}{3+x}+\frac{1}{3+y}+\frac{1}{3+z})$$ eşitliğini elde ederiz $f(u)=\frac{1}{3+u}$ seçersek fonksiyonun konveks olduğu görülür öyle ise jensen kullanarak $$(\frac{1}{3+x}+\frac{1}{3+y}+\frac{1}{3+z})\geq 3.\frac{1}{3+(\frac{x+y+z}{3})}$$ elde ederiz buradan $x+y+z=1$ koyup eşitsizliği çözersek $$(\frac{1}{3+x}+\frac{1}{3+y}+\frac{1}{3+z})\geq \frac{9}{10}$$ buda $$\frac{2-x}{3+x}+\frac{2-y}{3+y}+\frac{2-z}{3+z}\geq -3+5\frac{9}{10}=\frac{3}{2}$$ dir


(1.8k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
0 beğenilme 0 beğenilmeme

İfade $A$ olsun, $$A+3=5\left(\dfrac{1}{3+x}+\dfrac{1}{3+y}+\dfrac{1}{3+z}\right)$$ olur. Buradan da $$2A+6=10\left(\dfrac{1}{3+x}+\dfrac{1}{3+y}+\dfrac{1}{3+z}\right)$$ olduğunu kullanalım: Cauchy Schwarz'dan $$\left(\dfrac{1}{3+x}+\dfrac{1}{3+y}+\dfrac{1}{3+z}\right)\cdot\left((x+3)+(y+3)+(z+3)\right)\geq (1+1+1)^2$$ ve $x+y+z=1$ olduğundan $$2A+6\geq 9\Rightarrow A\geq \dfrac{3}{2}$$ elde edilir. Eşitlik durumu $x=y=z=1/3$ de sağlanır...

(895 puan) tarafından 
0 beğenilme 0 beğenilmeme

$$f(x,y,z,\lambda)=\dfrac{2-x}{3+x}+\dfrac{2-y}{3+y}+\dfrac{2-z}{3+z}+\lambda(x+y+z-1)$$ kuralını veren $f$ fonksiyonunun farklı değişkenlere göre türevleri: $$f_x'=\dfrac{-5}{(3+x)^2}+\lambda,\quad f_y'=\dfrac{-5}{(3+y)^2}+\lambda,\quad f_z'=\dfrac{-5}{(3+z)^2}+\lambda,\quad f_\lambda'=0$$ Buradan $$\lambda=\dfrac{5}{(3+x)^2}=\dfrac{5}{(3+y)^2}=\dfrac{5}{(3+z)^2}\Rightarrow |x+3|=|y+3|=|z+3|\Rightarrow x=y=z\\(x,y,z>0)$$ elde edilir. $x,y,z$ ifadede yerine koyulursa minimum değer $3/2$ elde edilir.

(895 puan) tarafından 
<p>
    Edit...
</p>
<p>
    Benzer çözüm yapılmış özür.
</p>
 
<p>
     <br>
</p>
20,200 soru
21,727 cevap
73,275 yorum
1,887,847 kullanıcı