x,y,z > 0 $x+y+z=1$ ise $\frac{2-x}{3+x}+\frac{2-y}{3+y}+\frac{2-z}{3+z}$ ifadesinin en küçük değeri nedir?

0 beğenilme 0 beğenilmeme
277 kez görüntülendi


15, Mart, 2015 Orta Öğretim Matematik kategorisinde yavuzkiremici (1,753 puan) tarafından  soruldu
15, Mart, 2015 yavuzkiremici tarafından düzenlendi
soru başka bir platformda,matematik geometri, sorulmuş bugün ben oradan aldım 

5 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Yanıt: 1,5.

İpucu:  Fonksiyona, 3=1+1+1 ekle ve “Aritmetik Ortalama-Harmonik Ortalama” eşitsizliğini uygula.

16, Mart, 2015 İlham Aliyev (608 puan) tarafından  cevaplandı

Cevap verenden bi ortalama esitsizligi bekliyordum zaten hocam :) cozum de guzel olmus, elinize saglik.

0 beğenilme 0 beğenilmeme
x,y,z > 0 ve x+y+z=1 dendiği halde, x≠y≠z denmediği için, x=y=z kabul edilebilir. Bu durumda da, 0'dan büyük en küçük tamsayı değeri olan 1'i seçer ve x=y=z=1 dersek;

(2-1)/(3+1) + (2-1)/(3+1) + (2-1)/(3+1) = 3 * (1/4) = 3/4 elde edilir...
16, Mart, 2015 muratagenc (39 puan) tarafından  cevaplandı
Basit bir hata olarak: $x=y=z$ ise $=1/3$ olur.

Asil sorum: Bu durumun minimal degeri verecegini nasil bilebiliyoruz?

ooo... x+y+z=1'i nasıl atladım... bu durumda x,y ve z kesinlikle tam sayı olaMaz, kesirli sayıdırlar.


x+y+z=1 olduğu için, bu değişkenlere verilen değer ne olursa olsun, toplam 1 olmak zorunda, yani sonuç olarak seçebileceğin en küçük x ve y değerine karşılık, z değeri, x+y'yi 1'e tamamlamak için artırılmak zorunda ve verilmiş olan denklemde, x, y ve z'nin kullanıldığı parçalar eşdeğer olduğu için, x=y=z seçilmesi en mantıklı seçenek.

fakat, örneğin yukarda verilen denklem değil de, x'in denkleme katkısının daha büyük olduğu başka bir denklem verilmiş olsaydı, o zaman x'i en küçük olacak şekilde seçebilirdik. mesela;
2x + (2-y)/(3+y) + (2-z)/(3+z) 

aşağıdaki grafikte, (2-x)/(3+x)'i çizdirdim, bu denklemde, 0 < x < 1 iken, denklemin değeri de 0-1 arasında oluyor. bu durumda, soruda verilen denklemin en küçük değeri, x=y=z=1/3 olduğu değer olmalı.

image


Tabi olay simetrik oldugundan, ilk bakista bu gozlem hakli.. Buna kesinlikle bir sey demiyorum. Sorum su: bu matematiksel mi? Ya da soyle sorabilirim: Su durumlarda kesin kez esit olmalilar diyebilir miyiz? ve bunlar esitken neden en buyuk degeri degil de, en kucuk degeri veriyor? bu da ayri bir yonu..

Soruya ilk baktigimda $10$ saniye icinde bir cevap vermelisin deseler, bende $1/3$ koyardim hepsine ama matematiksel olmazdi, hissel olurdu..

evet, haklısın, matematiksel değil... matematiksel olabilmesi için, acaba ispat yöntemlerini mi denemek gerekir? en basit ispat yöntemi, deneme yöntemi olabilir. bu durumda, bir tablo yaparak, değerleri bir kontrol edelim. küçük bir program yazılabilir. yazdım :) sonuç, eşit olduklarında en düşük değere ulaşılıyor.

image

Deneme yontemi test yontemidir. Kullanmadim diyemem ama bunun matematiksel oldugunu da iddia etmedim :)

öğreniyorum, yapacak birşey yok :)

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$\frac{2-x}{3+x}=-1+\frac{5}{3+x}$ diğer ifadeleride benzer şekilde elde edersek $$\frac{2-x}{3+x}+\frac{2-y}{3+y}+\frac{2-z}{3+z}=-3+5(\frac{1}{3+x}+\frac{1}{3+y}+\frac{1}{3+z})$$ eşitliğini elde ederiz $f(u)=\frac{1}{3+u}$ seçersek fonksiyonun konveks olduğu görülür öyle ise jensen kullanarak $$(\frac{1}{3+x}+\frac{1}{3+y}+\frac{1}{3+z})\geq 3.\frac{1}{3+(\frac{x+y+z}{3})}$$ elde ederiz buradan $x+y+z=1$ koyup eşitsizliği çözersek $$(\frac{1}{3+x}+\frac{1}{3+y}+\frac{1}{3+z})\geq \frac{9}{10}$$ buda $$\frac{2-x}{3+x}+\frac{2-y}{3+y}+\frac{2-z}{3+z}\geq -3+5\frac{9}{10}=\frac{3}{2}$$ dir


16, Mart, 2015 yavuzkiremici (1,753 puan) tarafından  cevaplandı
16, Mart, 2015 yavuzkiremici tarafından düzenlendi
0 beğenilme 0 beğenilmeme

İfade $A$ olsun, $$A+3=5\left(\dfrac{1}{3+x}+\dfrac{1}{3+y}+\dfrac{1}{3+z}\right)$$ olur. Buradan da $$2A+6=10\left(\dfrac{1}{3+x}+\dfrac{1}{3+y}+\dfrac{1}{3+z}\right)$$ olduğunu kullanalım: Cauchy Schwarz'dan $$\left(\dfrac{1}{3+x}+\dfrac{1}{3+y}+\dfrac{1}{3+z}\right)\cdot\left((x+3)+(y+3)+(z+3)\right)\geq (1+1+1)^2$$ ve $x+y+z=1$ olduğundan $$2A+6\geq 9\Rightarrow A\geq \dfrac{3}{2}$$ elde edilir. Eşitlik durumu $x=y=z=1/3$ de sağlanır...

11, Ocak, 11 Deniz Tuna Yalçın (895 puan) tarafından  cevaplandı
0 beğenilme 0 beğenilmeme

$$f(x,y,z,\lambda)=\dfrac{2-x}{3+x}+\dfrac{2-y}{3+y}+\dfrac{2-z}{3+z}+\lambda(x+y+z-1)$$ kuralını veren $f$ fonksiyonunun farklı değişkenlere göre türevleri: $$f_x'=\dfrac{-5}{(3+x)^2}+\lambda,\quad f_y'=\dfrac{-5}{(3+y)^2}+\lambda,\quad f_z'=\dfrac{-5}{(3+z)^2}+\lambda,\quad f_\lambda'=0$$ Buradan $$\lambda=\dfrac{5}{(3+x)^2}=\dfrac{5}{(3+y)^2}=\dfrac{5}{(3+z)^2}\Rightarrow |x+3|=|y+3|=|z+3|\Rightarrow x=y=z\\(x,y,z>0)$$ elde edilir. $x,y,z$ ifadede yerine koyulursa minimum değer $3/2$ elde edilir.

11, Ocak, 11 Deniz Tuna Yalçın (895 puan) tarafından  cevaplandı
<p>
    Edit...
</p>
<p>
    Benzer çözüm yapılmış özür.
</p>
 
<p>
     <br>
</p>
...