Zayif Yaklasim Teoremi ve Fonksiyon Cisimlerinin sonsuz yerleskeye sahip olmasi [kapalı]

0 beğenilme 0 beğenilmeme
75 kez görüntülendi

Teorem 1.3.1 (Zayif Yaklasim Teoremi): $F/K$ bir fonksiyon cismi olsun, $P_1,\cdots, P_n \in \mathbb P_F$ bu fonksiyon cisminin ikili ayri (pairvisely distinct) yerleskeleri olsun, $x_1,\cdots,x_n \in F$ ve $r_1,\cdots,r_n \in \mathbb Z$ olsun.  Bu durumda (en az) bir adet $x\in F$  elemani vardir ki tum $i=1,\cdots, n$ icin $$\nu_{P_i}(x-x_i)=r_i$$ olur.

Cikarim 1.3.2:
Her fonksiyon cismi sonsuz tane yerlekeye sahiptir. 

Soru: Teorem ile cikarimi ispatlayiniz.

Daha onceki sorular icin: link.

notu ile kapatıldı: Kitap cevirisi
25, Kasım, 2015 Akademik Matematik kategorisinde Sercan (23,213 puan) tarafından  soruldu
6, Aralık, 2015 Sercan tarafından kapalı

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Kolaylik olsun diye $\nu_{P_i}$ yerine $\nu_i$ yazalim.

Adim 1: Bir adet $u \in F$ elemani vardir ki $\nu_1(u)>0$ ve $i=2,\cdots,n$ icin $\nu_i(u)<0$ olur.

(Adim 1) Ispat: ilk olarak $n=2$ durumu icin inceleyelim. $\mathcal O_{P_1} \not \subset \mathcal O_{P_2}$ ve $\mathcal O_{P_2} \not \subset \mathcal O_{P_1}$ olur, cunku $\mathcal O_{P_i}$'ler (istenen sartlar altinda) $F/K$ fonksiyon cisminin maksimal halkalaridir. Bu durumda $y_1 \in \mathcal O_{P_1} \backslash\mathcal O_{P_2}$ ve $y_2 \in \mathcal O_{P_2}\backslash \mathcal O_{P_1}$ elemanlari vardir. Bu elemanlar icin de $\nu_1(y_1)\geq 0$, $\nu_2(y_1) <0$ ve $\nu_1(y_2)<0$, $\nu_2(y_2)\geq 0$ olur.

Simdi $u=y_1/y_2$ olarak secelim. Bu durumda $$\nu_1(u )=\nu_1(y_1)-\nu_1(y_2)>0 \text{ ve } \nu_2(u )=\nu_2(y_1)-\nu_2(y_2)<0$$ olur. Tam da istendigi gbi.

$n > 2$ durumu icin de tumevarim kullanalim. Hipotezimize gore bir adet $y \in F$ elemani vardir ki $\nu_1(y)>0$, $\nu_2(y)<0$, $\cdots$, $\nu_{n-1}(y)<0$ olur. 

Eger $\nu_n(y)<0$ ise zaten istedigimiz elemani elde etmis oluruz. Eger $\nu_(y) \geq 0$ ise: hadi diyelim boyle olsun. bu durumda $n=2$ durumundan dolayi $\nu_1(z)>0$  ve $\nu_n(z)<0$ sartini saglayan bir $z \in F$ elemai vardir.

Simd $u=y+z^r$ olarak tanimlayalim. Burada $r \geq 1$ (tam) sayiyisini (keskin ucgen esitligini kullanabilmek icin) her $i=1,\cdots,n$ icin $r\cdot \nu_(z)\ne \nu_i(y)$ olacak sekide secelim. Bu secimi gerceklestirebiliriz, cunku sinirli sayida ($n$ tane) degerlendirme ve buna karsilik sonsuz sayida $r \geq 1$ (tam) sayisi vardir.

$u \in F$ elemaninin degerlendirmeleri $$\nu_1(u)=\min\{\nu_1(y), r\cdot\nu_1(y)\}>0$$ ve $i=2,\cdots,n$ icin $$\nu_i(u)=\min\{\nu_i(y), r\cdot\nu_i(y)\}<0$$ sekilnde olur. Bu da tam istedigimiz gibi.

Adim 2: Bir adet $w \in F$elamani vardir ki $\nu(w-1)>r_1$ ve $i=2,\cdots,n$ icin $\nu_i(w)>r_i$ olur.

(Adim 2) Ispat: Adim 1'deki $u \in F$ elemanini secelim ve $w=(1+u^s)^{-1}$ olarak tanimlayalim. ($s \in \mathbb N$ sayisini yeterince buyuk secelim. Peki neye gore yeterince buyuk?). Bu durumda $$\nu_1(w-1)=\nu_1(-u^s(1+u^s)^{-1})=s\nu_1(u)+\nu_1(w)=s\nu_1(u)>r_1$$ ve $i=2,\cdots,n$ icin $$\nu_i(w)=-\nu_i(1+u^s)=\min\{\nu_i(1),s\cdot\nu_i(u)\}=-s\cdot\nu_i(u)>r_1$$ olur. ($s \in \mathbb N$ degerini son esitleri saglayacak sekilde buuk secmeliyiz ve secebiliriz).

Ek olarak: Yukarida $\nu_1(w)=0$ olarak islem yaptik. Bunu gormek icin $\min\{\nu_1(1),s\cdot\nu_1(u)\}=0$ oldugunu ya da yerleskelerin  (denk geldigi) deger halkalarinin biricik maksimal ideali oldugu kullanilabilir, bu da zaten deger halkalarinin yerel halka olma ozelligi.

Adim 3: Verilen $y_1,\cdots,y_n \in F$ elemanlari icin bir adet $z \in F$ elemani vardir ki $i=1,\cdots,n$ icin $\nu_i(z-y_1)>r_i$ saglanir.

(Adim 3) Ispat:
Her $i,j \in \{1,\cdots,n\}$  icin $\nu_i(y_j)>s$ olacak sekilde bir $s \in \mathbb Z$ sayisi secelim. (Bunun icin $n^2$ degerlemeyi hesaplayip bunlardan daha kucuk bir sayi sececegiz, yani boyle bir $s$ sayisini secebiliriz). 

Adim 2'den dolayi oyle $w_1,\cdots,w_n \in F$ elemanlari vardir ki  $$\nu_i(w_i-1)>r_i-s \text{ ve } i \ne j \text{ icin } \nu_i(w_j)> r_i-s$$ esitsizlikleri saglanir. (Burada $r_i$ yerine $r_i-s$ olmasi oyle buyuk bir olay degil, $r_i$'ler herhangi (random) sayilar oldugundan sikinti yok).

Eger $z=\sum\limits_{j=1}^ny_jw_j$ olarak secersek istedigimiz esitsizlikler saglanir: $$ \nu_i(z-y_i)=\nu_i\big(y_i(w_i-1)+ \sum\limits_{j=1, j\ne i}^ny_jw_j\big) \geq \min\{\nu_i(y_i(w_i-1)), \min\limits_{j \ne i}\{\nu_i(y_iw_j)\}\}\geq r_i^{(*)}.$$ (*): Son esitsizlik icin $$v_i(y_i(w_i-1))=\nu(y_i)+\nu_i(w_i-1)>s+(r_i-s)>r_i$$ ve $i \ne j$ icin $$v_i(y_jw_j)=\nu(y_j)+\nu_i(w_j)>s+(r_i-s)>r_i$$ oldugunu gostermeliyiz. (ki su an gosterdik).

Artik (sonunda) teoremi ispatlayabiliriz.

Adim 3'u kullanarak $i=1,\cdots,n$ icin $\nu_i(z-x_i)>r_i$ olacak sekilde bir adet $z \in F$ elemani secelim. Ayrica (her $r \in \mathbb Z$ degeri icin bulabilecegimizden, bariz olarak) $\nu_i(z_i)=r_i$ sartini saglayan $z_1,\cdots,z_n \in F$ elemanlari secelim.

Tekrar Adim 3'u kullanarak $i=1,\cdots,n$ icin $\nu_i(z'-z_i)>r_i$ sartini saglayan bir $z'\in F$ elemani secelim. Bu durumda $$\nu_i(z')=\nu_i((z'-z_i)+z_i)=\min\{\nu_i(z'-z_i), \nu_i(z_i)\}=r_i$$ olur. $x=z+z'$ olarak secersek $$\nu_i(x-x_i)=\nu_i((z-x_i)+z')=\min\{\nu_i(z-x_i),v_i(z')\}=r_i$$ olur.

------------------------------------------------------------------------------------------------------

Cikarimin ispati
icin de: sonlu sayida yerleske oldugunu varsayalim, bunlari $P_1,\cdots,P_n$ olarak adlandiralim. Teorem 1.3.1'den dolayi bir adet $x \in F$ elemani icin ($x_i=0\in F$ ve $r_i>0 \in \mathbb Z$) $\nu_i(x)>0$ olur. Eger $x\in F$ elemani $K$ uzerinde cebirsel olsaydi degerlendirmelerde sifir degerini alirdi, demek ki $x\in F$ elemani $K$ uzerinde askin bir eleman olmali. Bu durumda Cikarim 1.1.20'den dolayi en az bir adet kutubu olmaliydi, fakat butun yerleskelerden pozitif deger aliyor. Bu da celiski verir.

5, Aralık, 2015 Sercan (23,213 puan) tarafından  cevaplandı
5, Aralık, 2015 Sercan tarafından düzenlendi
...