Homoloji gruplarında burkulma geometrik olarak neye işaret eder?

0 beğenilme 0 beğenilmeme
110 kez görüntülendi
10, Mart, 2015 Akademik Matematik kategorisinde Safak Ozden (3,393 puan) tarafından  soruldu

burkulmanin ingilizcesi nedir acaba?

ingilizcesi "torsion".

Evet, torsion. Yani bir uzayın, atıyorum birinci homoloji grubunun bir direk çarpanının $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ olması geometrik olarak neye işaret eder?

Yazdıktan sonra fark ettim ki soru yanıtlanmış. Boşa gitmesin diye yine de gönderiyorum:

$\mathbb{Z}$ katsayılı homoloji kastedildiğini varsayarak...

Örneğin, $M$ bağlantılı, kapalı bir $n$-manifold iken $M$ yön verilemez bir manifoldsa burk$(H_{n-1}(M;\mathbb{Z}))=\mathbb{Z}_2$ olur. Aksi durumda  burk$(H_{n-1})=0$ olur. Bunun $n=2$ için özel hali: kapalı bir yüzeyde birinci homolojide burkulma varsa yüzeye yön verilemez. Bunun daha geometrik anlamı da şöyle: $H_1$'de kendi başına bir 2-hücrenin kenarı olamayıp da bir kopyasıyla birlikte bir 2-hücrenin kenarı olan bir çemberin temsil ettiği bir eleman vardır (örn. reel projektif düzlemde bir doğru).

Daha ayrıntılı bir cevap için tam olarak neyi sormak istediğini bilmem gerek Şafak.

Bosa gitmez, birden fazla cevap da guzeldir.

1 cevap

2 beğenilme 0 beğenilmeme

$n$-inci homoloji grubunda $\mathbb Z/2$ olması $n$-inci boyutta iki katı bir coboundary olan bir cocycle var demektir. Mesela bir iki boyutlu disk $D^2$ al ve sınırındaki (boundary) bütün noktalarda $(x,y)$ ile $(-x,-y)$ yi birbirine yapıştır. Ortaya çıkan uzaya $X$ dersek, $X=\mathbb R P^2$'dir. $D^2$'nin üst yarım dairede kalan sınırı yeni uzayda artık bir cocycle'dir çünkü $(1,0)$ le $(-1,0)$ artık ayni noktalardır. Bu cocycle'a $\sigma$ dersek, $\sigma$ bir $1$-cocycle'dır ama coboundary değildir. Yani $\sigma$'nın sınıfı $H_1(X)$'de sıfırdan farklıdır. Ne zaman bu $\sigma$'ya kendisini yani $D^2$'nin alt yarım dairede kalan sınır kısmını eklersek $D^2$ nin tüm çevresi olur yani bir coboundary olur. Diğer bir değişle $2[\sigma]=0$ olur. Dolayısı ile $[\sigma]$ birinci homolojide bir $\mathbb Z /2$ gerer. Sorduğun şey bu muydu bilmiyorum ama ben iki katı sıfır olan homoloji sınıfı denilince hep bu örneği düşünürüm.

 

10, Mart, 2015 Ergun Yalcin (174 puan) tarafından  cevaplandı

Evet bunu sormuştum, teşekkürler. Yalnız yine de, $\mathbb{R}\mathbb{P}^2$ içinde cycle aldığımızda bir kere dolanınca büzememize karşın ikinci dolanışıtan sonra çözülüp büzülebilir hale gelişini tam kavrayabildiğimi söyleyemeyeceğim. Cebirsel olarak bunun bir boundry olması gerektiğini görebiliyorum ve fakat..

$2[\sigma]$ diskin çevresinde bir tur atmaya karşılık geliyor. Bu çevrimi $D^2$'nin ortasındaki sıfır noktasına doğru büzebilirsin. Büzmek aslında homotopi ile ilgili bir durum homoloji için bir 2-boyutlu bir hücrelerin sınır hücrelerinin lineer kombinasyonu olması sıfır olması icin yeterli.


...