Sonlu bir $R$ halkası $1$'i içerir ancak ve ancak $R$'nin tek sıfırlayıcısı $0$'dır.

1 beğenilme 0 beğenilmeme
139 kez görüntülendi

sıfırlayıcı: annihilator

10, Mart, 2015 Akademik Matematik kategorisinde Enis (1,075 puan) tarafından  soruldu

$b \neq 0$ ve sifirlayici olsun. O zaman $0=1.b=b$'den celiski gelir. Yani iki adet sifirlayicinin olmasi icin $1$'in $R$ icerisinde olmamasi lazim ve icinde $1$ varsa iki adet sifirlayici olamaz.

$R=\{0\}$ durumunu dışlamak da gerekiyor herhalde.

(Ben 0 ile 1 in eşitliğine alışamadım)

Hocam buna ne kadar detayli bir cevap ariyorsunuz. Artin-Wedderburn teoreminin bir uygulamasi olarak diger kismi da geliyor. 

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
Sonlu $R$ halkası $1$ i içersin. $R$ nin tek sıfırlayıcısının $0$ olduğunu görelim. $a\in R$  sıfırlayıcı olsun. Bu durumda $a1=0$ yani $a=0$ olur. Tersine $R=\{x_{1},x_{2},...,x_{n}\}$ olsun. $0\neq x_{i}\in R$ için $x_{i}R=\{x_{i}x_{1}, x_{i}x_{2},...,x_{i}x_{n}\} \subseteq R$ elde ederiz.
İddia: $x_{i}R=R$ şeklindedir. Gerçekten $x_{i}R$ kümesindeki bazı elemanlar birbirine eşit olsa yani
$x_{i}x_{m}=x_{i}x_{n}$ olması $x_{i}(x_{m}-x_{n})=0$ olmasını gerektirir. Kabulden $R$ nin tek sıfırlayıcısı $0$ idi. Bu durumda $x_{m}=x_{n}$ olur ki çelişki. O halde $x_{i}R=R$ dir. Ayrıca $x_{i}\in x_{i}R$ olup $x_{i}=x_{i}x_{t}$ olacak şekilde $x_{t}\in R$ vardır. Benzer işlemler $Rx_{i}=R$ tekrarlanarak yapıldığında $x_{s}x_{i}=x_{i}$ elde edilir. Şimdi $x_{s}=x_{t}=1$ diyebiliriz. Çünkü $x_{s}=x_{s}x_{s}=x_{s}(x_{s}x_{t})=x_{s}x_{t}=x_{t}$ elde edilir.
19, Mart, 2015 Handan (1,516 puan) tarafından  cevaplandı
19, Mart, 2015 Handan tarafından düzenlendi

burda sifirliyicidan dolayi celiski bulunmaz..

Ornek: $R=\mathbb{Z}_6$ ve $x_1=3$. Burda $R$'nin tek sifirlayicisi $0$ ama $3.2=0$.

Sifir bolen sifirlayici olmak zorunda degil.

Soru "Artin-Wedderburn teoremi" kullanmadan daha basit sekilde cozulur mu bilmiyorum..

O savı duymamıştım, paylaşman mümkün mü acaba?

...