$a,b\in\mathbb{R}$ ve $a<b$ olmak üzere $$(a,b)=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\left[a+\frac{b-a}{4n},b-\frac{b-a}{4n}\right]$$ olduğunu gösteriniz.

1 beğenilme 0 beğenilmeme
59 kez görüntülendi

$a,b\in\mathbb{R}$ ve $a<b$ olmak üzere

$$(a,b)=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\left[a+\frac{b-a}{4n},b-\frac{b-a}{4n}\right]$$

olduğunu gösteriniz.

5, Kasım, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Laedri (165 puan) tarafından  soruldu
11, Haziran, 11 murad.ozkoc tarafından düzenlendi

Soruyu tam olarak anlayamadım ama bir yorumum var.

Şimdi sayıların birleşimi için bir aralık verilmiş ve bu aralığın iki doğal sınırı var.

Bu doğal sınırların farkını alırsak, kümenin boyutu hakkında bir yorum yapabiliriz.

Bu örnekteki sınırları birbirinden çıkarırsak

$b-\frac{b-a}{4n}-a-\frac{b-a}{4n}$=$\frac{2n-1}{2n}(b-a)$ eşitlikteki ilk ifade her zaman 1 den küçük bir değerdir

o zaman

$(b-a)<1$ olduğu zaman doğal sınırların farkı da 1'den küçük bir değer alır

aynı şekilde $(b-a)>1$ olduğu zaman ise doğal sınırların farkı 1 den büyük bir değer alır.

Bu ifadelerde sayıların bulunduğu aralığı doğru bir şekilde ifade eder.


Buradaki sorunun cevabına benzer şekilde yapabilirsin.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Cozum yolu:

Bu araliklarin hepsi $(a,b)$'nin icindende oldugunu gosterirsek, $(a,b)$ bunlarin birlesimini icerdigini gostermis oluruz.

Diger taraftan ise $\lim\frac{b-a}{4n}=0$ oldugunu biliyoruz. Yapmamiz gereken $x \in (a,b)$ alip bu $x$ elemaninin bu kapali kumelerden birinin icine dusecegini yukaridaki limitin tanimi ile $(\epsilon>0$) gosterebiliriz.

6, Kasım, 2015 Sercan (22,720 puan) tarafından  cevaplandı

tamam ama bu büyük bileşimler $[a,b]$ niye olamıyor?

edit: $a-\epsilon$'dan dolayı sanırım

$(a,b)$'yi icerecegine ikna olduysan gerisinde sunu gostermelisin $\mathbb R\setminus (a,b)$'den bir eleman iceremez. Buna aslinda ilk basta ikna olmak gerekli cunku birlesin icerisinde her aralik $(a,b)$ icerisinde... Yani birlesim de $(a,b)$ icerisinde olmali. 

...