|z1|=|z2|=|z3|=1 ve z1+z2+z3=0 olacak biçimde z1,z2,z3 kompleks sayılarının çember etrafında çevrelenen bir eşkenar üçgenin köşelerini oluşturduğunu ve bu üçgeni çevreleyen çemberin birim çember olduğunu gösteriniz.

0 beğenilme 0 beğenilmeme
22 kez görüntülendi
Daha önce soruyu sormuştuk eksik yazım olduğundan tekrardan sorma ihtiyaçı duydum bakarsanız sevinirim.
29, Ekim, 2015 Lisans Matematik kategorisinde ersinydn (17 puan) tarafından  soruldu

1 cevap

2 beğenilme 0 beğenilmeme

Soru ilk bakista cok karisik gibi gozukse de kucuk bir gozlem her seyi kolaylastiriyor:

Gozlem: Duzlemi dondurmek, soruyu degistirmez.

Bunu cebirsel olarak, daha anlasilabilir sekilde yazalim.

Gozlem': $c \in \mathbb{C}$ ve $|c| = 1$ olsun ve $w_1 = cz_1, w_2= cz_2, w_3=cz_3$ diyelim. Bu durumda  $|w_1| = |w_2| = |w_3| = 1$ ve $w_1+w_2+w_3 = 0$ olur.

Bu gozlemi kanitlamak cok kolay. Simdi $c = z_1^{-1}$ secelim. Bu durumda yukarida yazdigimiz gozlemler sunu soyluyor:

Gozlem'': $z_1 = 1$ alabiliriz, genelligi bozmadan.

Soru suna donustu:

Soru: $|z| = |w| = 1$ ve $z+ w = -1$ olacak sekilde, koseleri $z, w , 1$ noktalarinda bulunan ucgen, eskenar bir ucgendir.

Artik bu soru bir lisans sorusu degil lise sorusu oldu. $z = a + bi$ ve $w = c+di$ olsun. $z + w = -1$ demek, $a = c = \frac{-1}{2}$ ve $b = -d$ demek. $b > 0$ oldugunu kabul edelim. Pisagor teoremini ($|z| = |w| =1$ oldugunu) kullanarak $b = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ve $d = \frac{-\sqrt{3}}{2}$ bulunur. Yani, ucgenimizin kose noktalarinin acilari $0, \pi/3$ ve $2\pi/3$. Bu da gosteriyor ki ucgenimiz bir eskenar ucgen (Neden?).


29, Ekim, 2015 Ozgur (2,033 puan) tarafından  cevaplandı
...