$1+2+\cdots+n$ icin verilen toplam formulunun ispatlari

3 beğenilme 0 beğenilmeme
126 kez görüntülendi

$1+2+\cdots+n$ icin verilen toplam formulunun ispatlari nelerdir? 

Yaygin ortaogretimsel ispat: 
$T=1+2+\cdots+n=n+(n-1)+\cdots+1$ diyelim. Bu durumda $2T=(1+n)+(2+(n-1))+\cdots+(n+1)=n(n+1)$ olur.

ispat icin gorsel: $C(n,2)$ oldugunu gosteren her bir sari topa karsilik gelen ikili mavi top eslesmesi. Bknz. Gif (Yardim: Bu gorseli burda nasil gosterebilirim?)

Bir adet uzun ve dolambacli ispat vereyim:

ilk olarak toplam fonksiyonumuza $S(n)$ diyelim. Bu durumda  $$S(n) = S(n - 1) + n \tag{1}$$ olur. $n \to n+1$  degisimi yaptigimizda : $$S(n + 1) = S(n) + n + 1\tag{2}$$ olur. Denklem(2)den denklem(1)'i cikartirsak: $$S(n+1) - S(n) = S(n) + 1 - S(n - 1) \tag{3}$$ olur. Tekrardan yazarsak $$\begin{cases} S(n+1) &= 2S(n) -S(n-1) + 1 \\ S(n) &= S(n) \end{cases} \tag{4}$$ elde ederiz. Matris sekilde yazarsak $$\begin{bmatrix} S(n+1) \\ S(n) \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} S(n) \\ S(n-1) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\tag{5}$$ olur ve kare matris yapmak icin $1=1$ esitligini eklersek $$\begin{bmatrix} S(n+1) \\ S(n+0) \\ 1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} S(n) \\ S(n-1) \\ 1\end{bmatrix}\tag{6}$$ olur ve bunu teker teker uygularsak $$\begin{bmatrix} S(n+1) \\ S(n) \\ 1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}^n\begin{bmatrix} S(1) \\ S(0) \\ 1\end{bmatrix}\tag{6}$$ esitligini elde ederiz. Simdi $3\times3$'luk matrisin Jordan formunu bulup uygulayalim:$$\begin{align}\begin{bmatrix} S(n+1) \\ S(n) \\ 1\end{bmatrix} &=\left(\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}^{-1}\right)^n\begin{bmatrix} S(1) \\ S(0) \\ 1\end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}^n\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} S(1) \\ S(0) \\ 1\end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & \binom{n}{1} & \binom{n-1}{2} \\ 0 & 1 & \binom{n}{1} \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} S(1) \\ S(0) \\ 1\end{bmatrix}\end{align}\tag{7}$$Matrisleri carpalim: $$\begin{bmatrix} S(n+1) \\ S(n) \\ 1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}\frac{ (2n+2)S(1) - 2nS(0) + {n}^{2} + n}{2} \\\frac{ 2nS(1) + (2 - 2n)S(0)+{n}^{2}-n}{2}    \\1\end{bmatrix} \tag{8}$$ $S(0) = 0$ ve $S(1) = 1$ oldugunu biliyoruz, bu durumda $$S(n) = \frac{n^2 + n}{2} \tag{9}$$ esitligini elde ederiz.

Burda ek bir soru sorulabilir. Jordon formun $n$. kuvvetini nasil elde ettigimiz.

Ispat mathstackexchange sitesinden alintidir. Sadece boyle uzun ispatlarin da olabilecegini belirtmek icin yazdim.

9, Eylül, 2015 Serbest kategorisinde Sercan (22,720 puan) tarafından  soruldu
9, Eylül, 2015 Sercan tarafından düzenlendi

Matris fantezisine girmeden de uzun ispatlar var mı hocam? :) birde okadar matris işleminin buradaki uzun yolu göstermekten başka bir amacı olabilir mi?

Ben sadece o baslikta gordugum en uzun ispati alip buraya yapistirdim. Tek gordugum sorunu da Jordan Formun $n$. kuvvetini nasil aldigi idi. Onu da belirttim. Yoksa ozel bir sebebi yok bunu secmemin..

Cahit Arf'ın bir sözü var : Fil silahıyla sinek öldürmek...

6 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Kısa ve basit bir ispatta benden gelsin o zaman.

$1+2+3+4...+n=A$ dersek.

$n+(n-1)+(n-2)+....+1=A$ olduğuda aşikardır bunları taraf tarafa toplarsak.

$(n+1)+(n+1)+(n+1) ....(n+1)=2A $ olur.Burada n tane n+1 olduğu A eşitliğinden bellidir.

$n.(n+1)=2A$ ise $\frac{n.(n+1)}{2}=A$

9, Eylül, 2015 KubilayK (11,100 puan) tarafından  cevaplandı

Yazdiktan sonra soruyu duzenlemeye basladim, ortaogretim ogrencileri icin bunu da yazmis bulundum en basa o ara. Kusura bakma.

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$$1+2+3\cdots+n=an^2+bn+c=f(n)$$

diyelim.Buradan :

$$f(1)=a+b+c=1\\f(2)=4a+2b+c=3\\f(3)=9a+3b+c=6$$

olarak buluruz.Denklemi çözersek :

$$5a+b=3\\3a+b=2\\\:\\\:\\\:a=\frac{1}{2}\:\:\:,\:\:\:b=\frac{1}{2}\:\:\:,\:\:\:c=0$$

$$f(n)=\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{2}n=\frac{n(n+1)}{2}$$

Ek bir bilgi : $f(n)=1^k+2^k+\cdots+n^k$ fonksiyonunun derecesi $k+1$ dir.

9, Eylül, 2015 bertan88 (1,108 puan) tarafından  cevaplandı
9, Eylül, 2015 bertan88 tarafından düzenlendi
Kullanilan $k+1$ derece olmasini gostermek zor degil fakat soru bundan daha elementer gozukuyor sanki. Ben de bununla ilgili bir cevap ekleyecem.
0 beğenilme 0 beğenilmeme

$C(1,1)+C(2,1)+C(3,1)+....C(n,1)=C(n+1,2)=\frac{n(n+1)}{2}$ sütün toplamı

9, Eylül, 2015 yavuzkiremici (1,744 puan) tarafından  cevaplandı
1 beğenilme 0 beğenilmeme

$(n+1)\times (n+1)$ sıra nokta düşünün. Bu karenin köşegeni üzerinde n+1 nokta var köşegenin altı ve üstü birbirine göre simetrik, köşegenin altında kalan her sıradaki nokta sayısının bir doğal sayıya karşılık geldiğini düşünürseniz, bu n sayının toplamı $(n+1)\times (n+1)$ karenin içindeki noktalardan köşegeni çıkarıp ikiye bölmektir. bu da $\frac{(n+1)^2- (n+1)}{2}$ olur.

9, Eylül, 2015 yavuzkiremici (1,744 puan) tarafından  cevaplandı
9, Eylül, 2015 yavuzkiremici tarafından düzenlendi
0 beğenilme 0 beğenilmeme

ilk olarak: $(i+1)^2-i^2=2i+1$.

O zaman

$2\cdot1+1=2^2-1^2$
$2\cdot2+1=3^2-2^2$
$\vdots$
$2\cdot n+1=(n+1)^2-n^2$

Simdi taraf tarafa toplarsak

$2(1+2+\cdots+n)+n=(n+1)^2-1$

esitligini elde ederiz. Burdan da $$1+2+\cdots+n=\frac{n(n-1)}{2}$$ esitligini elde ederiz.

9, Eylül, 2015 Sercan (22,720 puan) tarafından  cevaplandı
0 beğenilme 0 beğenilmeme

$n+1$ kosesi olan tam cizge dusunelim. Her kosesin derecesi $n$ oldugundan ve toplam kenar sayisi tum derecelerin toplaminin yarisi olacagindan $$\frac{n(n+1)}2$$ olur. 

Eger bu cizgeden $1$ kose kaldirirsak diger koselerin derecesi $n-1$ olur ve kenar sayisi $n$ azalir. Bu islemi devam ettirerek kenarlari sayarsak $$n+(n-1)+\cdots+2+1$$ kenar oldugunu goruruz.

Bu iki farkli sayim bize $$1+2+\cdots+(n-1)+n=\frac{n(n+1)}2$$ oldugunu verir.

21, Nisan, 2016 Sercan (22,720 puan) tarafından  cevaplandı

n+1n+1 kosesi olan tam cizge dusunelim.   nasıl bir çizge hocam bu? çok gen degil sanırım

"cizge kurami" ya da "graphy theory"... Resim (n=7 durumu icin)

...