$\sum_{n=1}^\infty\:\:(-1)^n\:\beta(n)$ serisini hesaplayın

0 beğenilme 0 beğenilmeme
38 kez görüntülendi

$\beta(n)$ dirichlet beta fonksiyonu olmak üzere :

$$\sum_{n=1}^\infty\:\:(-1)^n\:\beta(n)$$

Serisini hesaplayın.

5, Eylül, 2015 Lisans Matematik kategorisinde bertan88 (1,114 puan) tarafından  soruldu
7, Eylül, 2015 bertan88 tarafından düzenlendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Serimiz :

$$\sum_{n=1}^\infty\:\:(-1)^n\:\beta(n)$$

Buradaki eşitlikte $k$ yerine $-1$ verelim.Eşitlik :

$$\sum_{n=1}^\infty\:\frac{\beta(n)}{k^n}=\frac{1}{2k}\Phi\Bigg(-1,1,\frac{1}{2}-\frac{1}{2k}\Bigg)$$

$$\sum_{n=1}^\infty\:\frac{\beta(n)}{(-1)^n}=-\frac{1}{2}\Phi(-1,1,1)$$

Lerch zeta fonksiyonunu bu özel hali için dirichlet eta fonksiyonu ile yazabiliriz.

$$-\frac{1}{2}\eta(1)$$

$\eta(1)=\ln2$ olduğunu biliyoruz.

$$\large\color{#A00000}{\boxed{\sum_{n=1}^\infty\:\:(-1)^n\:\beta(n)=-\frac{\ln2}{2}}}$$

7, Eylül, 2015 bertan88 (1,114 puan) tarafından  cevaplandı
...