$1+\displaystyle\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots=\frac{\pi^2}{6}$

0 beğenilme 0 beğenilmeme
343 kez görüntülendi

Bu ilginç eşitliğinin gerçekten sağlandığını nasıl gösterebiliriz?

25, Şubat, 2015 Akademik Matematik kategorisinde Enis (1,075 puan) tarafından  soruldu
25, Şubat, 2015 DoganDonmez tarafından düzenlendi

5 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Net anlatmasi mesakatli bunun da: link atayim.

25, Şubat, 2015 Sercan (23,972 puan) tarafından  cevaplandı

$\pm \pi$ koku oldugu icin $x \pm \pi$ onu boler. ya da $1 \pm \frac{x}{\pi}$.. Bu sekilde koklerden gelen lineer faktorlerin carpimi.

sonsuz toplamin, sonsuz carpim hali..

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Fourier serilerinden

25, Şubat, 2015 ali tas (1,506 puan) tarafından  cevaplandı
1 beğenilme 0 beğenilmeme

burada da 5 farklı kanıt var  

basel-problem.pdf (0,7 MB)

Your browser does not have a PDF plugin installed.

Download the PDF: basel-problem.pdf

25, Şubat, 2015 yavuzkiremici (1,757 puan) tarafından  cevaplandı
25, Şubat, 2015 yavuzkiremici tarafından yeniden gösterildi

3 ile 4 de ayrı güzelmiş.

0 beğenilme 0 beğenilmeme
Ali Nesin analiz kitabında "bu eşitlik ilk bulunduğunda yer yerinden oynamıştı" şeklinde bir yorum yapmıştı yanlış hatırlamıyorsam. Kanıtına baktığımda ben de heyecanlanmıştım :)
25, Şubat, 2015 ahmetozdemir (152 puan) tarafından  cevaplandı
2 beğenilme 0 beğenilmeme

Rusça bir sitede okuduğum kadarıyla Eulerin probleme yaklaşımı şu şekildeymiş

$x^4+mx^3+nx^2+px+q=0$ polinomunun sıfırdan farklı kökleri  a,b,c,d olsun bu polinomu şöyle yazabiliriz $(a-x)(b-x)(c-x)(d-x)=0$ ve kökleri 0 dan farklı kabul ettiğimiz için bu polinomu $a.b.c.d$ ye bölelersek şu denklemi elde ederiz $$(1-\frac{x}{a})(1-\frac{x}{b})(1-\frac{x}{c})(1-\frac{x}{d})=0$$  şimdide iyi bilinen $$sinx=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}$$ serisini , yukarıdaki çıkarımı kullanarak ve sinüs fonksiyonunun köklerinin $0\pm \pi,\pm 2\pi$ olduğunu hatırlayarak  $$\frac{sinx}{x}=(1-\frac{x}{\pi})(1+\frac{x}{\pi}(1-\frac{x}{2\pi})(1+\frac{x}{2\pi})(1-\frac{x}{3\pi})(1+\frac{x}{3\pi})...$$ yazabililriz buda iki kare farkı kullanarak  $$\frac{sinx}{x}=(1-\frac{x^2}{\pi^2})(1-\frac{x^4}{\pi^4})(1-\frac{x^9}{\pi^9})$$ bulunur burdan sonrada soruya şu şekilde yaklaşmış $(a+b)(c+d)(e+f)=ace+acf+ade+adf+bce+bcf+bde+bdf$ olduğunu biliyoruz dikkat ederseniz $ace$ ifadesi her çarpanın ilk terimlerinin çarpılması ile elde ediliyor benzer şekilde $bdf$ son terimlerin çarpımı bu gözleme dayanarak yukarıdaki ifadeyi $(1-\frac{1}{4}-\frac{1}{9}-\frac{1}{16}-...)(\frac{1}{\pi^2})x^2$ ve son olarak $x^2$ katsayısının $-\frac{1}{3!}=-\frac{1}{6}$ olması gerektiğini düşünerek sonucu bulmuş

26, Şubat, 2015 yavuzkiremici (1,757 puan) tarafından  cevaplandı
26, Şubat, 2015 yavuzkiremici tarafından düzenlendi

Bence burada dikkat edilmesi gereken hassas bir nokta var.

Soru da sonsuz tane terimin toplamından bahsediyor. Bu ne demek ki? Örneğin son çözümde de ...'lar var. Bunları yaparken biraz daha hassas olmalıyız. Sonsuz tane terimin toplamı için, bir seri toplamı tanımlamalı ve bu toplamı limit kavramıyla yapmalı.

Hocam, çözüm benim değil ben sadece rusçadan çevirdim , çözüm euler'in yaptığı 4 çözümden biri  birebir aynı olmasa bile genel hatları ile böyle bir de o faktöriyel (sayıları çarpım olarak göstermiş) ve pi sembollerini kullanmamış (pi yazmış) cevabı yazarken Eulerin yaklaşımı yazdım bugünün bilgisi ile dünü eleştirmek çok da doğru değil kanımca bir de söz konusu olan Euler! 

...