sonsuz şüphe

Question

$\sqrt{x+\sqrt{x+...}}$  bu toplamin ici sonsuza giderken kendisi sınırlı oluyor bu durum doğrumu işlemler yapıp sonuç çıkıyor ama  yakınsamalarla falan belki tam aksi olur mu mesela içerisi sonsuza gitmeyip sınırlı gibi hisediyorum yanlış bir kullanım mı var ?

Answer 1

$n$ tane $x$ icin $a_n$ tanimi yaparsan. Bu seri (keskin) artan bi seri olur. Yani sonsuzda limiti olmasi icin ustten bir siniri olmasi lazim ki limit sonsuza gitmesin, ustten bi siniri da varsa, (calculus dersinde) monoton seriler icin olan teoremden, bir limiti olmali. Ispata ustten sinirli diye baslarsan bi problem olmaz. Limit degeri de $a$,ya gidiyosa.. $a=\sqrt{x+a}$'dan da cozum bulunur.