$F/K$ fonsiyon cisminin deger halkasi olan $\mathcal O$ bir tek üretecli ideal bolgesidir

2 beğenilme 0 beğenilmeme
40 kez görüntülendi

$\mathcal O$ halkasi $F/K$ fonksiyon cisminin bir deger halkasi olsun ve $P$ kumesi de bu $\mathcal O$ halkasinin biricik maksimal ideali olsun. O zaman 

(a) $P$ ideali tek uretecli (principal) idealdir,
(b) Eger $P=t\mathcal O$ ise $0 \ne z \in F$ elemanini biricik sekilde $n \in \mathbb Z$ ve $u \in \mathcal O^\times$ olmak uzere  $z=t^nu$ formunda yazabiliriz,
(c) $\mathcal O$ halkasi tek uretecli (principle) ideal bolgesidir. Hatta daha kesin bir sekilde, eger $P=t\mathcal O$ ve $\{0\} \ne I \subseteq \mathcal O$ bir ideal ise bir adet $n \in \mathbb N$ icin $I=t^n\mathcal O$ seklinde yazabiliriz.

Burda daha onceden ispatlanmis olan "F/K fonksiyon cisminin genisleme derecesi icin bir alt sinir" sorusundaki ozellik kullanilabilir.

21, Ağustos, 2015 Akademik Matematik kategorisinde Sercan (22,506 puan) tarafından  soruldu
21, Ocak, 21 Sercan tarafından yeniden açıldı

Bu principle icin ilke cevirisi pek icime sinmedi.. Onerisi olan? ya da sinmeli mi?

Kesinlikle daha iyi ve anlamlı. 

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

ilk olarak $P$ idealinin $\mathcal O$ halkasinin tek uretecli bir ideali olmadigini kabul edelim (ve daha sonrasinda celiski elde edelim). $P$ idealinin tek uretecli olmamasi su demek hicbir $x \in P$ icin $P$ idealinin $P=x\mathcal O$ seklinde yazamayiz. 

Herhangi bir $x_1 \in \mathcal P$ elemanini alalim. $P$ ideali tek uretecli olmadigindan $P\ne x_1 \mathcal O$ esitsizligi var. Bu esitsizlik sunu der: Bir adet $x_2 \in P$ vardir ki bu $x_2 \not \in x_1\mathcal O$, yani $x_2x_1^{-1} \not \in \mathcal O$.

Bi ara $P$ idealinin degisik bir tanimini verirken sunu demistik, $P$ ideali tersi $\mathcal O$ halkasinda olmayan elemanlari icerir ve su an elimizde $\mathcal O$ halkasinda olmayan $x_2x_1^{-1}$ elemani var, yani $x_1x_2^{-1} \in P$ olmali tanimdan dolayi. Burdan da $x_1 \in x_2P$. Iste elde etmek istedigimiz...

Yukarida herhangi bir eleman icin baslamistik ve bu elemani $x_1$ olarak secmistik. Sonucunda da $x_1 \in x_2P$ sartini saglayan bir $x_2$ elemani bulduk. Eger bu herhangi bir elemanimizi $x_2$ secersek sonucunda $x_2 \in x_3P$ sartini saglayan bir $x_3$ elemani buluruz. Bu sekilde devam edersek $x_i \in x_{i+1}P$ sartini saglayan sonsuz adet $x_1,x_2,\cdots$ elemanlari bulabiliriz.

Simdi ilgili sorudaki ifadeyi hatirlayalim: $\mathcal O$ halkasi $F/K$ fonksiyon cisminin bir deger halkasi olsun ve $P$ de onun maksimal ideali olsun ve $0 \ne x \in P$ olsun. $x_1,\cdots,x_n \in P$ elemanlari $x_1=x$ ve $i=1,\cdots,n-1$ icin $x_i\in x_{i+1}P$ sartini saglasin.O zaman $n \leq [F:K(x)]< \infty$.

Daha onceden ispatladigimiz bu sonuc sunu soyluyor: oyle sonsuz tane bu sarti saglaylayan $x_i$ bulamazsin. Fakat biz bulduk. Ya daha onceden bulmus oldugumuz sonuc hatali (-ki degil) ya da burda bir yanlislik var. Bu da bizim kabulumuz. Demek ki $P$ ideali tek uretecli bir idealmis.

(Devam edecek...)

23, Ağustos, 2015 Sercan (22,506 puan) tarafından  cevaplandı
23, Ağustos, 2015 Sercan tarafından düzenlendi
...