$\bar{\Phi}_n(T)$ polinomu $\mathbb{F}_p[T]$ içinde ne zaman indirgenemez olur?

1 beğenilme 0 beğenilmeme
57 kez görüntülendi

$\Phi_n(T)$ ile $n$-inci siklotomik polinomu, $\mathbb{F}_p[T]$ ile $p$ elemanlı cisim üzerine kurulan polinom halkasını, $\bar{\Phi}_n(T)$ ile $\Phi_n(T)$'nin $\mathbb{F}_p[T]$ içindeki indirgenmiş halini (reduction) gösterelim.

Soru: $\bar{\Phi}_n(T)$ polinomu, $\mathbb{F}_p[T]$ içinde ne zaman indirgenemez (irreducible) olur?

Siklotomik polinomlar hakkında

21, Ağustos, 2015 Akademik Matematik kategorisinde Enis (1,075 puan) tarafından  soruldu
21, Ağustos, 2015 Enis tarafından düzenlendi

Sorudakinde bar olmayacak galiba, zaten indirgenmis hali o.

Türkçe terimler karışmış :) Düzenliyorum.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Daha genel: $q=p^f$ bir asal kuvveti olmak uzere $K=\mathbb F_q$ olsun ve de $K^{(n)}$ de $\Phi_n$ polinomunun ayristigi (splitting) cisim olsun. $d$ pozitif tam sayisi $q^k\equiv1\mod n$ kosulunu saglayan $k$ pozitif tam sayilarinin en kucugu olsun. O zaman $[K^{(n)}:K]=d$ olur. Hatta $\Phi_n$ dereceleri $d$ olan $\phi(n)/d$ adet indirgenemez polinomun carpimi seklinde yazilabilir.

Ifade ispat gibi zaten. Sunu kullansak yeterli: $w$ elemani $\mathbb F_q$ uzerinde ilkel bir birin $n.$ dereceden koku olsun. $w \in \mathbb F_{q^k}$ ancak ve ancak  $w^{q^k}=w$, yani $q^k \equiv1\mod n$. Son ifade de basit bir cikarim cunku bu ispat herhangi bir ilkel kok icin gecerli.

Sorunun cevabi da: Bu minimal pozitif $d$ sayisi $\phi(n)$ sayisina esit oldugu zaman $\Phi_n$ polinomu indirgenemez olur.

21, Ağustos, 2015 Sercan (23,572 puan) tarafından  cevaplandı
...