Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
522 kez görüntülendi

$0_R\neq 1_R$ olacak şekilde bir R halkasında her $a\in R $ için $a^6=a $ ise kar(R) nedir?


kar(R): Rnin karakteristiligi

Lisans Matematik kategorisinde (76 puan) tarafından  | 522 kez görüntülendi

3 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

$\phi(1) = 1_R$ ile tanimlanan $\phi: \mathbb{Z}\to R$ halka homomorfizmasinin cekirdegini ariyoruz. $\phi(64) = \phi(2^6) = \phi(2)^6 = \phi(2)$. O halde, $0 = \phi(64) - \phi(2) = \phi(62)$. Yani en azindan $62'$nin cekirdekte oldugunu biliyoruz. Tam sayilar halkasinin ideallerinin nasil oldugunu, karakteristigin ya sifir ya da asal oldugunu da biliyoruz. Bu durumda, iki secenege inmis durumdayiz: Karakteristik ya $2$ ya da $31$! 


Ayni sekilde, $\phi(3) = \phi(3)^6 = \phi(3^6) = \phi(729)$. Demek ki, $\phi(726) = 0$. Yani, $726$ da cekirdekte. $726$ sayisi $31$'e bolunmediginden tek bir secenegimiz kalmis demektir. 

Daha guzel bir sekilde cozumu mutlaka vardir.
(2.5k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş

daha güzelinin oldugunu sanmiyorum hocam. yalniz phi yerine baska bi şey kullansaydik daha iyi olurdu :)

Soyledigim yanlis bir sey var: Asal ideallerle isimiz yok burada. Zira, elimizde bir tamlik bolgesi yok ise o zaman karakteristik asal olmak zorunda kalmayabilir. Sonucun $2$ olmasinin sebebi hem $726$, hem de $62$ bolen tek sayi olmasi.

Kusura bakma.

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Ozgur'un dedigini (kendimce) daha ilkel sekilde yazayim: $$1+1=(1+1)^6=1+1+1+\cdots+1$$ ve $$1+1+1=(1+1+1)^6=1+1+1+\cdots+1.$$Yani $62$ tane $1$'i toplayinca veya $726$ tane $1$'i toplayinca $0$ elde ediyoruz. Karakteristik bunu saglayan en kucuk sayiyi boler, yani karakteristik $2$'yi bolen bir sayi olmali (en buyuk ortak bolenden dolayi). Krakteristik $1$ demek $1_R=0_R$ demek. O zaman karakteristik $2$ olabilir. Zaten $\mathbb F_2$ (en azindan) bu sarti saglar.

Su soru da sorulabilir: Bu sarti saglayan halkalar (hepsi) nelerdir?

(25.3k puan) tarafından 

hocam burada buldugumuz 2 sayinın ebob u 6 gibi bi sayı ciksaydi. bu işleme devam mı ederdik mesela 4^6-4 gibi

Surekli $6$'nin kati gelirse eger, cevap $2,3$ yada $6$ olabilir. Fakat $6$ oldugunu burdaki gibi iki ornekle degil, tum hepsi icin sagladigini gostermemiz gerekir. Asali indirgeyemezsin ama digerlerinin indirgenme olasiligi olabilir.
0 beğenilme 0 beğenilmeme

$1=(-1)^6=-1$ ise $2=0$ olur.

(25.3k puan) tarafından 

Baya başarılı. 

20,200 soru
21,728 cevap
73,275 yorum
1,887,995 kullanıcı