Mertebesi $15$ olan tüm gruplar devirlidir.

0 beğenilme 0 beğenilmeme
150 kez görüntülendi
27, Ocak, 2015 Akademik Matematik kategorisinde Enis (1,075 puan) tarafından  soruldu

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
$G$ mertebesi $15$ olan bir grup olsun. Cauchy teoremi'ni kullanarak $G$'nin mertebesi $3$ ve $5$ olan iki altgrubu olduğunu görebiliriz. Bunlara sırayla $H$ ve $K$ diyelim. $K$ herhangi bir eşleniğine eşit değilse ikisinin çarpımı $G$'nin $5^2 = 25 > 15$ elemanlı bir altkümesi olacağından $K$'nin $G$'de normal olması gerekir.

Şimdi $h$ ve $k$, $H$ ve $K$'nin birer üreteci olsun. Bir $1 \leq i \leq 4$ için $hkh^{-1} = k^{i}$ eşitliği sağlanır. Bu eşitliği kullanarak $k = h^3kh^{-3} = k^{i^3}$ olduğu görülebilir. $k$'nin mertebesi $5$ olduğu için $i^3 \equiv 1 (\text{mod } 5)$. Öte yandan Fermat'nın küçük teoremi gereği $i^4 \equiv 1 (\text{mod } 5)$. Son iki denklikten $i \equiv 1 (\text{mod } 5)$ elde edilerek $i = 1$ olduğu görülebilir.

Yani $h$ ve $k$ birbiriyle değişir. Bundan dolayı $H$ de $G$ içinde normaldir. Buradan $G$'nin $H \times K$'ye eşyapılı olduğunu goruruz. Böylece $G \cong \mathbb{Z}/3 \times \mathbb{Z}/5 \cong \mathbb{Z}/15$.

Benzer şekilde $p > q$ asal sayılar ise ve $q$, $p - 1$'i bölmüyorsa mertebesi $pq$ olan her grubun devirsel olduğu gösterilebilir.
29, Ocak, 2015 vecihi (106 puan) tarafından  cevaplandı
...