$a+b+c=abc=6$ sartini saglayan rasyonel sayi ucluleri

3 beğenilme 0 beğenilmeme
73 kez görüntülendi

$a+b+c=abc=6$ sartini saglayan rasyonel sayi uclulerinin sonsuz coklukta oldugunu gosteriniz.

Ek: Mumkunse eliptik egriler kullanilmasin, daha elementer yontem tercihen.

14, Ağustos, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Sercan (22,317 puan) tarafından  soruldu

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

önce $a+b+c=abc$ eşitliğine bakalım her tarfı abc ile bölerek $$\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}=1$$ elde ederiz bundan sonra $$tan(\frac{x}{2})an(\frac{y}{2})+tan(\frac{x}{2})an(\frac{z}{2})+tan(\frac{y}{2})an(\frac{z}{2})=1$$ olduğundan  $$\frac{1}{a}=tan(\frac{x}{2}) \ yada \ a={cot(\frac{x}{2})}$$ dönüşümü yapılabilir x,y,z bir üçgenin açıları olmak üzere, şimdi denklemin ikinci kısmını kullanalım $abc=6$ ise  $cot(\frac{x}{2})cot(\frac{y}{2})cot(\frac{z}{2})=6$ olur $cot(\frac{x}{2})cot(\frac{y}{2})cot(\frac{z}{2})=cot(\frac{x}{2})+cot(\frac{y}{2})+cot(\frac{z}{2})$ olduğunu biliyoruz $$cot(\frac{x}{2})+cot(\frac{y}{2})+cot(\frac{z}{2})=6 \ denklemi \ elde \  edilir.$$ yine $cot(\frac{x}{2})+cot(\frac{y}{2})+cot(\frac{z}{2})\geq 3\sqrt3$ (jensen) olduğunuda biliyoruz. Öyle ise elde edilen denklemin çözümü var, fonksiyonlar periyodik çözüm sonsuz tane

15, Ağustos, 2015 yavuzkiremici (1,741 puan) tarafından  cevaplandı
17, Ağustos, 2015 yavuzkiremici tarafından düzenlendi

Periodik değerler için aynı $a,b,c$ degerlerl ni elde etmez miyiz?

tek bir değişken olsa dediğiniz doğrudur ama üç değişken için çözüm sonsuz adet

hangi fonksiyonlar periodik? $a=\cot(\frac x2+k\pi)$, $a$ degerini degistirmiyor? Ayni zamanda $b$ ve $c$'yi de?

...