$\zeta(s,a)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^\infty\frac{x^{s-1}e^{-ax}}{1-e^{-x}}\:dx$ eşitliğini ispatlayın

1 beğenilme 0 beğenilmeme
41 kez görüntülendi

$\zeta(s,a)$ hurwitz zeta fonksiyonu ve $\Gamma(s)$ gama fonksiyonu olmak üzere :

$$\large\zeta(s,a)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^\infty\frac{x^{s-1}e^{-ax}}{1-e^{-x}}\:dx$$

Eşitliğini ispatlayın.

7, Ağustos, 2015 Lisans Matematik kategorisinde bertan88 (1,111 puan) tarafından  soruldu
8, Ağustos, 2015 bertan88 tarafından düzenlendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

İntegralimiz:

$$\int_0^\infty\frac{x^{s-1}e^{-ax}}{1-e^{-x}}\:dx$$

$\frac{1}{1-e^{-x}}$ ifadesini sonsuz toplam ile yazabiliriz.

$$\int_0^\infty\:\sum_{n=0}^\infty\:e^{-nx}x^{s-1}e^{-ax}\:dx$$

$$\int_0^\infty\:\sum_{n=0}^\infty\:x^{s-1}e^{-ax-nx}\:dx$$

$$\int_0^\infty\:\sum_{n=0}^\infty\:x^{s-1}e^{-x(n+a)}\:dx$$

Seri düzgün yakınsak olduğundan integral ile toplam sembolünün yerini değiştirebiliriz.

$$\sum_{n=0}^\infty\:\int_0^\infty\:x^{s-1}e^{-x(n+a)}\:dx$$

$x(n+a)=\omega$ olacak şekilde değişken değiştirelim.

$$\sum_{n=0}^\infty\:\int_0^\infty\:\frac{1}{(n+a)^s}\omega^{s-1}e^{-\omega}\:d\omega$$

$$\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(n+a)^s}\:\int_0^\infty\:\omega^{s-1}e^{-\omega}\:d\omega$$

Hurwitz zeta fonksiyonu ve gama fonksiyonunun tanımına göre :

$$\large\color{red}{\boxed{\zeta(s,a)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^\infty\frac{x^{s-1}e^{-ax}}{1-e^{-x}}\:dx}}$$

7, Ağustos, 2015 bertan88 (1,111 puan) tarafından  cevaplandı
8, Ağustos, 2015 bertan88 tarafından seçilmiş

Kendi sorduğunuz bir soruya kısa bir süre içinde cevap verip, cevabınızı en iyi seçmek nasıl bir duygu?

Çok güzel.Neden merak ettiniz ?

...