Her $\epsilon > 0$ icin $a \leq b+\epsilon$ ise $a \leq b$ oldugunu gosteriniz.

1 beğenilme 0 beğenilmeme
112 kez görüntülendi

$a,b$ gercel sayilar olmak uzere: her $\epsilon > 0$ icin $a \leq b+\epsilon$ ise $a \leq b$ oldugunu gosteriniz. 

3, Ağustos, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Sercan (23,831 puan) tarafından  soruldu
3, Ağustos, 2015 Sercan tarafından düzenlendi

Hangi küme üzerinde soruluyor bu soru? rasyoneller kümesi mi, tam sayılar kümesi mi vs. ?

Reel sayilar diyelim.

1 cevap

2 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

$$(\epsilon >0)(a\leq b+\epsilon)\Rightarrow a\leq b\ldots (\star)$$

önermesinin doğru olduğunu göstereceğiz.

$\epsilon >0$ ve $a\leq b+\epsilon$ olsun ve $a>b$ olduğunu varsayalım.

$$a>b\Rightarrow a-b>0 \Rightarrow \epsilon_0:=\frac{a-b}{2}>0$$ olur. Şimdi de hipotezi kullanalım. 

$$a\leq b+\epsilon_0=b+\frac{a-b}{2}=\frac{a+b}{2}\Rightarrow 2a\leq a+b\Rightarrow a\leq b$$ olur. Bu ise varsayımımız ile çelişir. O halde varsayımımız yanlış yani $(\star)$ önermesi doğrudur.

3, Ağustos, 2015 murad.ozkoc (8,953 puan) tarafından  cevaplandı
5, Nisan, 2016 murad.ozkoc tarafından düzenlendi
...