$\int \frac{\text{log}^2(1-z)}{z}dz$=?

1 beğenilme 0 beğenilmeme
103 kez görüntülendi
Daha önce yazılan bir makalenin genelleştirilmiş halini bulmak istiyoruz. Sorunun bir yerinde bu integral ile karşılaştık. Özel bir ifade olduğunu zannediyoruz.
28, Temmuz, 2015 Akademik Matematik kategorisinde Enis (1,075 puan) tarafından  soruldu
29, Temmuz, 2015 Enis tarafından düzenlendi

Ben böyle bir şey buldum :

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{\Gamma(3,-n\ln(1-z))}{n^3}$$

$\Gamma(s,x)$ tamamlanmamış gama fonksiyonu.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

İntegralimiz :

$$\int\frac{\ln^2(1-z)}{z}\:dz$$

$ln(1-z)=u$ olacak şekilde değişken değiştirelim. ve biraz sadeleştirelim.

$$-\int\frac{u^2}{e^{-u}-1}\:du$$

$-u=\omega$ olacak şekilde tekrar değişken değiştirelim.

$$\int\frac{\omega^2}{e^\omega-1}\:d\omega$$

$\frac{1}{e^\omega-1}$ ifadesini sonsuz toplam ile yazalım.

$$\int\sum_{n=1}^\infty\:e^{-n\omega}\:\omega^2\:d\omega$$

Sonsuz toplam düzgün yakınsak olduğundan integral ile yerlerini değiştirelim.

$$\sum_{n=1}^\infty\int\:e^{-n\omega}\:\omega^2\:d\omega$$

$n\omega=\Omega$ olacak şekilde değişken değiştirelim

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^3}\int\:e^\Omega\:\Omega^2\:d\Omega$$

İntegralin içindeki kısmı , tamamlanmamış gama fonksiyonunun kısmi türevi olarak yazabiliriz.

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^3}\int\underbrace{\:e^\Omega\:\Omega^2}_{\large-\frac{\partial}{\partial\:\Omega}\Gamma(3,\Omega)}\:d\Omega$$

İntegrali artık çözebiliriz.

$$-\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^3}\Gamma(3,\Omega)$$

Şimdi en baştan beri değiştirdiğimiz değişkenleri yerine yazalım.

$$\large\color{red}{\boxed{\int\frac{\ln^2(1-z)}{z}\:dz=-\sum_{n=1}^\infty\frac{\Gamma(3,-n\ln(1-z))}{n^3}}}$$

Umarım bir yanlış yoktur.

29, Temmuz, 2015 bertan88 (1,122 puan) tarafından  cevaplandı
29, Temmuz, 2015 bertan88 tarafından düzenlendi

Eğer integral $0$ dan $1$ e olsaydı cevap $2\zeta(3)$ olurdu.

Bunu benim yazdığım cevaptan da bulabilirsiniz.

...