${\lim\limits_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln(n)}$ ifadesinin yakınsak olduğunu ispatlayın

0 beğenilme 0 beğenilmeme
83 kez görüntülendi

$${\large\lim\limits_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln(n)}$$

İfadesinin yakınsak olduğunu ispatlayın.

25, Temmuz, 2015 Lisans Matematik kategorisinde bertan88 (1,114 puan) tarafından  soruldu
ayoub'unan introduction to the analytic theory of numbers adlı kitabın 43. sayfasında ispatı varmış.

euler sabiti imiş ismide

İsmi euler-mascheroni sabiti olarak geçiyor.

İspatı bazı sitelerde var ama anlamıyorum :) Türkçe olarak birisi açıklasa güzel olur.

ben o kitaptakini çevirip yazarım yazan olmazsa :)

Tamam hocam , teşekkürler :)

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

İlk gözlemimiz : $\ln{n}<\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}<\ln{n}+1$

Kanıt : $\frac{1}{x}$'in grafiğinde genişliği $1$ olan sütunların alanları toplamına bakarak kolaylıkla gösterilebilir.

İkincisi de şu olsun : $a_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}-\ln{n}$ azalan bir dizidir.

Kanıt : $a_n-a_{n+1}=\ln{\frac{n+1}{n}}-\frac{1}{n+1}$ ki bu da tüm $n>0$ için pozitif.

Bundan sonrası gayet kolay : 

$a_n>0$ ilk gözlemden dolayı. Ayrıca azalan, demek ki yakınsıyor.

Umarım bir hata yoktur :)

26, Temmuz, 2015 Riemann (310 puan) tarafından  cevaplandı
28, Temmuz, 2015 bertan88 tarafından seçilmiş

Hocam ilginiz için teşekkür ederim :) .

Diziye azalan bir dizi demişsiniz , doğru.Ama her azalan dizi yakınsak mıdır ?

Sorunuz için ben teşekkür ederim :) Hayır elbette, her azalan dizi yakınsak değildir ($a_n=-n$ mesela). Ama eğer azalan ve alttan sınırlıysa (her zaman $0$'dan büyük olduğunu söyledik) yakınsak olmak zorundadır. 

$\ln(n+1)$ olacak herhalde ilk bastaki..

Hayır hocam, öyle değil diye hatırlıyorum. $(\ln{n})+1$ olmalı.

$\ln n +1$ olmali zaten de, onu oyle sutunlardan gorebiliyor muyuz? itegral gibi dusunsek arada $\ln$ yanlarda $\frac 1n$ toplamlari olmali gibi.

https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_(mathematics)#Integral_test

Pardon hocam resim atmadan anlatmak zor olacak birazimage

tamamdir..        

...