Eğer $x+y+z=0$ ise, $\frac{x^2+y^2+z^2}{2}\times\frac{x^5+y^5+z^5}{5}=\frac{x^7+y^7+z^7}{7}$ olur.

2 beğenilme 0 beğenilmeme
126 kez görüntülendi


25, Temmuz, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Enis (1,075 puan) tarafından  soruldu

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$x+y+z=0$  olduğundan şu eşitlikleri yazarak faydalanalım


$x+y=-z$


$(x+y+z)^2=0 \Longrightarrow x^2+y^2+z^2+2(xy+xz+yz)=0$


$\Longrightarrow x^2+y^2+z^2=-2(xy+xz+yz)$ 


$(x+y)^3=-z^3 \Longrightarrow x^3+y^3+3xy(x+y)=-z^3 \Longrightarrow x^3+y^3+z^3=-3xy(x+y)$

            $\Rightarrow$

$x^3+y^3+z^3=3.x.y.z$       (x+y=-z)




binomal teoremde simetri oldugundan kırılma noktasına eşit uzaklıktaki binomal terimleri ortak 2liler şeklinde yazabiliyoruz Örnek linik


bu örnekteki çok alakadar değil ama şunu anlamağa yeter.


$(x+y)^n$ binomunda birbirine $\binom{n}{n-j}=\binom{n}{j}$ tarzı eşitliklerden doğan parantezler olucaktır.


$(x+y)^n=x^n+\binom{n}{1}x^{n-1}.y+\binom{n}{2}x^{n-2}.y^2+........+\binom{n}{n-2}x^2.y^{n-2}+\binom{n}{n-1}x.y^{n-1}+y^n$



$(x+y)^n=x^n+y^n+\binom{n}{1}x.y.(x^{n-2}+y^{n-2})+\binom{n}{2}(x.y)^2.(x^{n-4}+y^{n-4})+........$


gibi gibi buradan yola çıkarak



$(x+y)^5=x^5+y^5+10(x.y)^2.(x+y)+5(x.y)(x^3+y^3)$


$(x+y)^7=x^7+y^7+35(xy)^3(x+y)+21(xy)^2(x^3+y^3)+7(xy).(x^5+y^5)$


bir köşede dursun $(x+y)^5=-z^5$ den başlayalım $x^3+y^3+z^3=3xyz$ yi kullanalım


$(x+y)^5=-z^5=x^5+y^5+10(xy)^2(-z)+5(xy)(3xyz)=x^5+y^5-5x^2.y^2.z$ düzenlersek



$x^5+y^5+z^5=-5.x^2.y^2.z$  ve $x^3+y^3+z^3=3xyz$ yi kullanarak $(x+y)^7$ yi bulalım;


$(x+y)^7=-z^7=x^7+y^7-35x^3.y^3.z+21.3.x^3.y^3.z-35.x^3.y^3.z=-7.x^3.y^3.z$

            $\Rightarrow$

$x^7+y^7+z^7=7.x^3.y^3.z$ olur.


hatta ilginç birşekilde $x+y+z=0$ için $x^9+y^9+z^9=-9.x^4.y^4.z$ diyebiliriz


Soruya dönersek http://matkafasi.com/69572/binomal-teoreme-yaklasim-1-soru-degildir bu linkteki
son eşitlikleri yazarsak;

sadece ispatladığım eşitliği kullanıcağım;


$x^2+y^2+z^2=-2(xy+xz+yz)$

$3(x^5+y^5+z^5)=(-1)(5)(xyz)(xy+yz+xz)$

$3(x^7+y^7+z^7)=1.(7)(xyz)(x^2.y^2+y^2.z^2+x^2.z^2)$  

bunlara ek şunu bilmeliyiz

$(xy+xz+yz)^2=x^2.y^2+x^2.z^2+y^2.z^2+2(xyz)(x+y+z)$  (x+y+z=0) biliniyor


$(xy+xz+yz)^2=x^2.y^2+x^2.z^2+y^2.z^2$ olur

yerlerine koyarsak $\frac{-2(xy+xz+yz)}{2}.\frac{(-1)(5)(xyz)(xy+yz+xz)}{3.5}=\frac{1.(7)(xyz)(x^2.y^2+y^2.z^2+x^2.z^2)}{3.7}$

düzenlersek eşitlik sağlanır.   $\Box$

8, Nisan, 2016 Anil B.C.T. (7,742 puan) tarafından  cevaplandı
9, Nisan, 2016 Anil B.C.T. tarafından düzenlendi

ekleme 3: eşitliğin doğrulugunu ispatladım x=y=z=0 olmasına gerek kalmadan buyrun link

http://matkafasi.com/69572/binomal-teoreme-yaklasim-1-soru-degildir

en sondaki toparlamadaki eşitlikler bunu ve daha nice eşitlik üretmemizi sağlıyor.

...