Hangi n doğal sayıları için, $x^2+x+1|x^2n+x^n+1$ şartı sağlanır?

2 beğenilme 1 beğenilmeme
157 kez görüntülendi
Hangi n doğal sayıları için, $x^2+x+1|x^2n+x^n+1$ şartı sağlanır?
27, Ocak, 2015 Serbest kategorisinde edirik (19 puan) tarafından  soruldu

2 Cevaplar

2 beğenilme 0 beğenilmeme
Soruda gecen polinomlari $f(x)=x^2+x+1$ ve $f_n(x)=x^n+nx^2+1$ biciminde adlandiralim ve su gozlemi yapalim: Eger $f(x)|f_n(x)$ sarti saglaniyorsa $f_n(x)=f(x)g_n(x)$ esitligini saglayan bir polinom var demektir ki, bu da $f(x)$ polinomunu sifirlayan her karmasik sayinin $f_n(x)$ polinomunu da sifirlamasi demektir. Bu gozlemi ve ucgen esitsizligini kullanarak bu bolmenin yalnizca $n=1$ icin mumkun oldugunu ispatlayacagiz.

Ikinci dereceden polinomlarin koklerini nasil bulacagimizi biliyoruz: $f(x)$ polinomunun kokleri sunlardir: $$\text{$x_1=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}$ ve $x_2=\frac{-1-\sqrt{-3}}{2}$}.$$ Dikkat edilirse bu iki karmasik kokun de uzunluklari $1$. Diyelim ki $f_n(x)=f(x)g_n(x)$ esitiligini saglayan bir $g$ polinomu var olsun. Yukaridaki ilk gozlemimiz geregi $$f_n(x_1)=x_1^n+nx_1+1=0$$ esitligi saglanmali. Kokumuz $x_1$'in uzunlugu $1$ oldugu icin $x_1^n$ karmasik sayisinin uzunlugu da $1$ olmak zorundadir, ayni nedenle $nx_1^2$ karmasik sayisinin uzunlugu da $n$ olmak zorundadir. $f_n(x_1)=0$ olmasi demek, $x_1^n$, $nx^2_1$ ve $1$ karmasik vektorleri bir ucgen olusturuyor demektir. O halde ucgen esitsizligi sayesinde su sonuca variriz:

\begin{equation}

0\leq n \leq 2.

\end{equation} Bu demektir ki olasi $n$ yalnizca $0,1$ ya da $2$'dir. $f_0$ ve $f_2$ polinomlarinin kokleri bulunarak (ya da daha kolay yontemlerle) bu iki polinomun $f$ tarafindan bolunmedigi rahatlikla gosterilebilir.
28, Ocak, 2015 Safak Ozden (3,408 puan) tarafından  cevaplandı
25, Mart, 2015 Safak Ozden tarafından düzenlendi
bir sekilde yazinin bir kisminda yazilar bitisik cikiyor. bir taraf duzeliyor diger taraf yapisiyor. icinden cikamadim

ucgen.. hos olmus..

teşekkür ederim :)
0 beğenilme 0 beğenilmeme

$n=3k$ seklinde ise kalan $n(-x-1)+-1+1$ olur ve $n=0$ olabilir ama olamaz.
$n=3k+1$ seklinde ise kalan $n(-x-1)+ x+1$ olur ve sadece $n=1$ olabilir.
$n=3k+2$ seklinde ise kalan $n(-x-1)+(-x-1)+1$ olur ve uygun $n$ bulunamaz.

8, Şubat, 2016 Sercan (24,176 puan) tarafından  cevaplandı
29, Şubat, 29 Sercan tarafından düzenlendi

Sercan hocam,

$n=3k+1$ durumunun incelendiği ikinci maddede '$n=1$ olabilir ama olamaz' yerine '$n=1$ olabilir ama bundan daha büyük değerler olamaz' anlamına gelen bir cümle yazılacaktı sanırım. (Bariz olarak $n=1$ olabilmekte.) 

Teşekkür ederim. Düzenledim. Eski halinde $\pm$ yazmışım. Orda bir olaylar olmuş ama. Net çıkaramadım. 

...