$\sqrt 2$ sayisinin bir kac basamagini bulalim

7 beğenilme 0 beğenilmeme
341 kez görüntülendi

Elimizde sadece kagit kalem varmis gibi dusunelim. Teorem vs kullanmak serbest. Kisa bir sure icinde (metodu da belli ederek) $\sqrt 2$ sayisinin kac tane basamagini bulabiliriz. En mukkemmel yanit olmasina gerek yok. Iyi bir beyin egzersizi de olabilir.


Ayrica su soruya da bakabilirsiniz: $\sqrt 2$ sayisinin basamaklari

Not: Kategori: Cevap yarismasi

21, Temmuz, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Sercan (23,203 puan) tarafından  soruldu
12, Ekim, 2015 Salih Durhan tarafından yeniden kategorilendirildi

Ben bunu cocukken hesap makinesiyle yapiyordum canim sikilinca annemin isyerinde. 

Türev ile yaklaşık olarak ${1,5}$ buldum :) .

${\%6}$ lık bir hata.

Bize orta okulda öğretmişlerdi, elle karekök almayı.

Bilgileri tazelemek lazım arada. :)

Zincir kesirlerle yaklaşılabilir. $$\sqrt{2}=[1;2,2,2,2,2, ...]$$ olduğu mâlumdur. Bir bakalım, oradaki teoremleri kullanmaya çalışalım.

http://www.matkafasi.com/16041/devamli-kesir-teoremlerini-kanitlayin 

ee, yorumculardan.kimse cevap vermedi..

6 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Acaba $\sqrt1<\sqrt2<\sqrt4 \Rightarrow 1<\sqrt2<2  \rightarrow \sqrt2=1,...$

$1,96<2<2,25 \Rightarrow (1,4)^2<2<(1,5)^2 \Rightarrow 1,4<\sqrt2<1,5 \Rightarrow \sqrt2=1,4...$

$(1,41)^2<2<(1,42)^2\Rightarrow 1,41<\sqrt2<1,42 \Rightarrow  \sqrt2=1,41...$ şeklinde yol alamayız mı?

23, Temmuz, 2015 Mehmet Toktaş (18,358 puan) tarafından  cevaplandı

Alabiliriz. Peki algoritmasi nedir bunun?

Kare ile karekök arasındaki ilişki ve sıralama :))

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Bir yol buldum sanırım! Yorumumda bahsi geçen sorudaki teoremleri hatırlatırım (Lütfen bakınız. Buraya tekrar yazmayacağım).

Öncelikle, $$\sqrt{2}=[1;2,2,2,2,2,\dots]$$ olduğu bilinmektedir (*)

Yukarıdaki linkte verilen Teorem 1 bizim için önemli ve belirleyici olacak. Teorem 2 hiç kullanılmayacak. Onun için de teorem deyince Teorem 1 kasdedilecektir. Başlayalım...

Öncelikle, teorem yardımıyla $(p_n, q_n)$ ikililerini birkaç terim için hesaplayıp bir motif bulmaya çalışacağım. Burada hesapları açıkça yazmayacağım: $$\begin{align} p_0&=1 &q_0=1\\ p_1&=3 &q_1=2\\ p_2&=7 &q_2=5\\ p_3&=17 &q_3=12\end{align}$$ diye gidiyor (umuyoruz!).

Bu dizide şu düzen dikkati çekiyor: 

ÖNERME: Her $n$ için $$\begin{align}q_{n+1}&=p_n+q_n\\p_{n+1}&=q_n+q_{n+1}=p_n+2q_n\end{align}$$ eşitlikleri geçerlidir.

İSBAT: Tümevarımı kullanacağız. $n=0$ için önerme doğrudur. $$\begin{align}q_{n}&=p_{n-1}+q_{n-1}\\p_{n}&=p_{n-1}+2q_{n-1}\end{align}$$önermesi doğru olsun.

Bu son denklem takımından $(p_{n-1}, q_{n-1})$ ikililerini $(p_n,q_n)$ cinsinden çekersek $$\begin{align}p_{n-1}&=2q_n-p_{n}\\q_{n-1}&=p_n-q_n\end{align}$$alınır. Bunları en başta vermediğimiz ama zikri geçen $(p_{n+1},q_{n+1})$ tanımına koyarsak istenen kolaylıkla  gösterilmiş olur.

Sonuçta, ardışık ikilileri (üçlüleri değil!) birbirine bağlayan bir tekrarlama bağıntısı elde ettik. Biz yine hesapladığımız diziye ve onda bulduğumuz düzene dönelim.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

SONUÇ: Yukarıda isbât edilen ÖNERME'yi kullanarak, (1,1) ikilisinden başlayarak istenen $(p_n,q_n)$ ikilisi çabucak bulunur. Sonra da $p_n/q_n$ rasyonel sayısı açıkça bölme yaparak hesaplanır.

ÖRNEK: $n=5$ olsun. O halde, $(p_5,q_5)=(99,70)$ bulunur. Bu bölmeyi yaparsak, 10-20 saniye içerisinde $$\frac{99}{70}=1,\overline{414285714}$$ olduğu görülür. 

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(*) NOT: Bilinmese bile bu zincir kesrin toplamına $x$ dersek, Buradan kolaylıkla $x-1=\frac{1}{x+1}$ ve $x^2=2$ eşitliği alınır. 

11, Ağustos, 2015 Yasin Şale (1,245 puan) tarafından  cevaplandı
2 beğenilme 0 beğenilmeme

Newton Methodu da kulanilabilir. Soyle ki.

$f(x)=x^2-2$ olsun. $x_0$ herhangi bir baslangic noktasi ( her baslangic noktasi icin koke yakinsamaz )

$x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$

$x_2=x_1-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)}$

$x_3=x_2-\frac{f(x_2)}{f'(x_2)}$

$.$

$.$

$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

$x_0=1$ olsun. $f'(x)=2x$ dir.

$x_1=1-\frac{f(1)}{f'(1)}=1-\frac{(-1)}{2}=\frac{3}{2}$

$x_2=\frac{3}{2}-\frac{f(\frac{3}{2})}{f'(\frac{3}{2})}=\frac{3}{2}-\frac{\frac{1}{4}}{3}=\frac{17}{12}$

$x_3=\frac{17}{12}-\frac{f(\frac{17}{12})}{f'(\frac{17}{12})}=\frac{17}{12}-\frac{\frac{1}{144}}{\frac{17}{16}}=\frac{577}{408}=1.41422$

Animasyon https://commons.wikimedia.org/wiki/File%3ANewtonIteration_Ani.gif


11, Ağustos, 2015 Okkes Dulgerci (1,318 puan) tarafından  cevaplandı
11, Ağustos, 2015 Okkes Dulgerci tarafından düzenlendi

Sizin verdiğiniz yaklaşıklıklar da aynı kesirli sayılarla belirleniyor. İki metot denk olmalı.


2 beğenilme 0 beğenilmeme

Fixed Point Iterasyonu da kulanilabilir. Soyle ki.

$x^2=2 \rightarrow x^2+x^2=x^2+2  \rightarrow 2x^2=x^2+2  \rightarrow \frac{2x^2}{2x}=\frac{x^2+2}{2x}  \rightarrow x=\frac{x^2+2}{2x}=f(x) $ 

$x_{n+1}=f(x_n)$ 

$x_0=1$ bizim baslangic noktasi olsun.

$x_1=f(x_0)=f(1)=\frac{3}{2}$

$x_2=f(x_1)=f(\frac{3}{2})=\frac{(\frac{3}{2})^2+2}{2\frac{3}{2}}=\frac{17}{12}$

$x_3=f(x_2)=f(\frac{17}{12})=\frac{(\frac{17}{12})^2+2}{2\frac{17}{12}}=\frac{577}{408}= \large{1.4142156}\small{8627451}$

$x_4=f(x_3)=f(\frac{577}{408})=\frac{(\frac{577}{408})^2+2}{2\frac{577}{408}}=\frac{665857}{470832}= \large{1.41421356237}\small{469}$


11, Ağustos, 2015 Okkes Dulgerci (1,318 puan) tarafından  cevaplandı
1 beğenilme 0 beğenilmeme

Yavas olmakla birlikte Bisection Methodu da kullanilabilir. Soyle ki.

$f(x)=x^2-2$ olsun. $f(1)<0$, $f(2)>0$ burdan $f(1)f(2)<0$ oldugundan $f(x)$ in bir koku [1,2]=[a,b] araligindadir.

$a_0=a=1,$  $b_0=b=2$ olmak uzere $x_0=\frac{a_0+b_0}{2}=\frac{1+2}{2}=\frac{3}{2}$ olur.

$f(x_0)>0$ oldugundan kok $ [a_0,x_0]$ araligindadir. $x_0=b_1$ diyelim.

$x_1=\frac{a_0+b_1}{2}=\frac{1+3/2}{2}=\frac{5}{4}$ olur.

$f(x_1)<0$ oldugundan kok $ [x_1,b_1]$ araligindadir. $x_1=a_1$ diyelim.

$x_2=\frac{a_1+b_1}{2}=\frac{5/4+3/2}{2}=\frac{11}{8}$ olur.


Kisacasi kok hangi aralikta ise o araligin iki ucunu toplayip 2ye boluyoruz..


12, Ağustos, 2015 Okkes Dulgerci (1,318 puan) tarafından  cevaplandı

Ek olarak: Bu yöntemler sadece yaklaşık değeri veriyor. Basamaklarını hesapladığımızdan emin olmak için hata payını da bilmemiz şart.

1 beğenilme 0 beğenilmeme

$x_1=2 \,\ \text{ ve } \,\ x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{2}{x_n}\right)$ olmak üzere $\langle a_n \rangle$ dizisi, $\mathbb{Q}$'da bir dizidir. Azalan ve alttan sınırlıdır. O halde bu dizi Monoton Yakınsaklık Teoremi uyarınca yakınsaktır. Üstelik de $\sqrt{2}$ sayısına yakınsar. Dolayısıyla yeteri kadar büyük $n$ sayıları için $\sqrt2$ sayısının istenildiği kadar basamağını bulabiliriz ama bu iş sadece kalem ve kağıtla kısa bir sürede olmaz.

26, Ağustos, 2015 murad.ozkoc (8,693 puan) tarafından  cevaplandı
...