Question

100 sayısını kaç farklı şekilde pozitif sayıların toplamı olarak yazabiliriz

Comments

$S_{100}$'ün eşlenik sınıfı sayısı kadar :)

---

(Yorumum epey komik olmus. Kaldirayim daha komik olsun).

---

hocam peki bir üst sınır koysaydık ( mesela :$1,2$ ve $3$ sayılarını istediğimiz kadar toplayarak $100$ sayısını kaç farklı şekilde elde ederiz) yine mathemaica'ya muhtaç mıyız yoksa manuel olarak çözmenin bir yolunu bulabilir miyiz ?

Answer 1

Aranan sayi 190569292 dir. Mathematica'nin kendi fonksiyonu var bu sayilari bulan. Allttaki fonksiyondur.. usteki ise benim yazdigim kod.. derecesi 100 olan terimin katsayisi cevaptir.. Ayrica 100 den kucuk dereceli terimlerin katsayisi o derecedeki sayinin kac farkli sekilde toplam olarak yazilacagini verir.. mesela  60 icin 966467 farkli sekilde toplam yazilabilir.. 101 icin 214481124 kadardir diyemeyiz cunku ben seriyi 100 kadar actim..

Answer 2

6 nin kac farkli sekilde pozitif sayilarin toplami seklinde yazilacagini bulmak icin, once  kuvvet serisini dereceleri birer artacak sekilde ve 6 ya kadar yazariz, sonra dereceler ikiser artacak sekilde yazariz, sonra ucer, en son altisar artacak sekilde yazariz, sonra bu serileri carpariz oyleki bizi sadece derecesi 6 olan terim ilgilendirir.. onun katsayisi da cevabi verir..

Comments

			(1)
			(2)
			(3)
			(4)

4 sayisinin 5 farkli sekilde positif sayilarin toplami seklinde yazilisi..

Answer 3

$100$ sayısını $1+1+1+1+1+....(100  tane)$ diye ayırıp ayraç metodunu uygulayabiliriz. ama pozitif tam sayı dediği için $0$ ayraçtan $99$ ayraca kadar ayrı ayrı hesaplamamız gerekiyor.

$0$ ayraç için $1$ farklı şekilde $(100)$

$1$ ayraç için $99$ farklı şekilde ${(1,99),(2,98).......(99,1)}$ [her iki birim arasına bir ayraç gelebilir $(0,100)$ ve $(100,0)$ küme dışı olduğu için en başa ve en sona koyulmaz]

$2$ ayraç için    $$\frac{(99)\cdot(98)}{2!}$$ farklı şekilde

                                                                           •

                                                                           •

                                                                           •

$n$ ayraç için  $$\frac{99!}{k!\cdot(99-k)!}$$ farklı şekilde ayrılabilir

 

istenen sonuç ise

 $$ \sum_{n=0}^{\ 99}\frac{99!}{k!\cdot(99-k)!} $$ olur

Comments

ama burada hepsini direkt toplayamayiz çünkü bazi parcalanmalar baska nler icinde de tekrar sayiliyor, mesela 1ayrac kullandigin zamanda aslinda 0 ayrac kullanirkenki saydiklarini sayiyorsun(1 tane ayracin en basa ve rn sona konulmasi ) dolayisiyla burada turkcesini bilmedigim "inclusion-exclusion" uygulamalisin bu ayrac yontemi icin.

---

Hocam hata tam olarak nerede anlayamadım. Zaten direkt $(99 ayraç + 100)!/99!$ demeyerek bu sorunu ortadan kaldirdiğimi dusunuyorum. İşin içine 0'ların girmesi işi bozacağı için bu metot yerine direkt her iki birim arasına koyma yoluna gittim, bu yüzden her seferinde ayraç koyabileceğimiz boşluklar $99,98,97$ diye azalıyor ve iki ayraç yan yana gelmemiş oluyor. Bu yöntemle tekrarları engelliyor olmam lazım. 

---

Anilin dediği gibi bir sorun yok, 1 ayraç için 0 ayraçlıları saymıyorsun. Ama başka bir yanlış var, 1+99 ile 99+1 toplamlarini farkli toplamlar olarak goruyorsun. Bunu nasil düzeltebilirsin sence?

---

 Tek sayıda top olsa genel çözüm için şansımı denerdim ama ortadaki $(50,50)$ işimi fena bozuyor. Sadece bu da değil, 2 ayraç için $(1,1,98)$ $3$ tane varken $(1,2,97)$ $6$ tane var. Daha da kötüsü $n$ arttıkça (bir yere kadar) oluşabilecek ihtimallerin de ihtimalleri artıyor. 

Geçen sene olsa gerekirse 1 hafta uğraşır çözemesem de neden çözemediğimi, nasıl çözülmediğini bulurdum ama malesef 12. sınıfım. Galiba yaza kadar bu başlığı ertelemem lazım.