$R$ bir halka olmak üzere $a^{2}=a$ $\forall a\in R$ sağlanıyorsa $R$ değişmelidir.

3 beğenilme 0 beğenilmeme
166 kez görüntülendi
27, Ocak, 2015 Lisans Matematik kategorisinde ugurgul (108 puan) tarafından  soruldu

3 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Varsayalım ki $a^2 = a \quad \forall a \in R$ sağlansın ve R değişmeli olmasın,

Dolayısıyla $\exists a,b \in R$ öyle ki $ab \neq ba \quad i.e \quad ab - ba \neq 0$ 

Şimdi, tanımdan dolayı,

$(ab)^2 = ab$  veya açık şekilde $(ab)(ab) = ab$ sağlanır.

Ayrıca,

$a^2 = a$  ve  $b^2 = b$ olduğu için de,

$(ab)(ab) = a^2b^2 \quad \Rightarrow \quad (ab)(ab) = (aa)(bb) \quad \Rightarrow \quad (ab)(ab) - (aa)(bb) = 0$

Dağılma özelliğiyle birlikte,

$a(bab - abb) = 0 \quad \Rightarrow  \quad a(ba - ab)b = 0$ 

$(ab - ba)b = y \quad y \neq 0 \in R$, çünkü  $ab - ba \neq 0$

Daha sonra da $y^2 = y$ olacağı için de,

$y(ab - ba)b = y^2 = y$   $y=a$ için, $a(ab - ba)b = a = 0$

Çelişki

 

27, Ocak, 2015 FD (20 puan) tarafından  cevaplandı
27, Ocak, 2015 FD tarafından düzenlendi
Bu çözümde anlayamadığım iki nokta var:

Önce  $y=(ab-ba)b$ alınıyor. Sonra da $y=a$ için çelişki bulunuyor gibi geldi bana.

(Bir de $R$ nin sıfır böleni olmadığı varsayılıp $y\neq0$ olduğu öne sürülüyor ama hiç kullanılmıyor sanki)

Ben de anlayamadim.

2 beğenilme 0 beğenilmeme
Halka birim elemanlı iken kolay:

$\forall a\in R$ için $(1+a)^2=1+a+a+a^2=1+a+a+a=1+a$ oluşundan $\forall a\in R$ için $a+a=0$ yani ($\forall a\in R$ için) $a=-a$ bulunur.

Daha sonra da $\forall a,b\in R$ için $(a+b)^2=a^2+ab+ba+b^2=a+ab+ba+b=a+b$ oluşundan, $ab+ba=0$ yani $ab=-ba$ bulunur. Ama yukarıdaki işlemden $-ba=ba$ olduğundan, $ab=ba$ elde edilir.
28, Ocak, 2015 DoganDonmez (3,341 puan) tarafından  cevaplandı
28, Ocak, 2015 DoganDonmez tarafından düzenlendi
3 beğenilme 0 beğenilmeme
Doğan hocam ilk çözüme yaptığınız yorum gayet doğrudur. Çözümde bir eksiklik var. Fakat sizin yaptığınız çözüm için halkanın birimli olması gerekmez. Yani sizin yaptığınız argüman birimsiz halkada da geçerlidir, şöyle ki: $(a+a)^{2}=a^{2}+a^{2}+a^{2}+a^{2}=a+a+a+a=a+a$ olduğundan $a+a=0$ yani $a=-a$ $\forall a\in R$. Ve sonrasında $(a+b)^{2}=a+b=a^{2}+ab+ba+b^{2}=a+ab+ba+b$ ve burdan da $ab+ba=0$ $\Rightarrow$ $ab=-ba=ba$ $\forall a,b\in R$.
28, Ocak, 2015 ugurgul (108 puan) tarafından  cevaplandı
...