Tanım: $(x_n)\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ yani $(x_n)$ bir gerçel sayı dizisi olsun.
$(x_n), \text{ büzüşen dizi}:\Leftrightarrow (\exists c\in (0,1))(\forall n\in\mathbb{N})(|x_{n+2}-x_{n+1}|\leq c\cdot |x_{n+1}-x_n|)$
Büzüşen dizi tanımından bir $k$ göstergeci için $$|x_{k+1}-x_k|\le c|x_k-x_{k-1}|$$ ve $$|x_k-x_{k-1}|\le c|x_{k-1}-x_{k-2}|$$ eşitsizliklerini birlikte düşünerek $$|x_{k+1}-x_k|\le c^2|x_{k-1}-x_{k-2}|$$ yazılabilir. Benzer olarak devam edilirse tümevarımla $$|x_{k+1}-x_k|\le c^t|x_{k-t+1}-x_{k-t}|$$ olduğu görülebilir. $t=k$ yazılarak $$|x_{k+1}-x_k|\le c^k |x_1-x_0|=c^ka$$ olur.
$n\gt m$ olmak üzere elde ettiğimiz bu eşitsizlik ve üçgen eşitsizliği kullanılarak $$|x_n-x_m|=|x_n-x_{n-1}+x_{n-1}-x_{n-2}+...+x_{m+1}-x_m|$$ $$|x_n-x_m|\le |x_n-x_{n-1}|+|x_{n-1}-x_{n-2}|+...+|x_{m+1}-x_m|$$ $$|x_n-x_m|\le c^{n-1}a+c^{n-2}a+...+c^ma=ac^m(c^{n-m-1}+...+1)=ac^m\dfrac{1-c^{n-m}}{1-c}\le \dfrac{ac^m}{1-c}$$ $$|x_n-x_m|\le \dfrac{ac^m}{1-c}$$ elde edilir. $$\epsilon\ge \dfrac{ac^m}{1-c}$$ olacak şekilde seçersek $c^m$ dizisi $0$ a yakınsadığından öyle bir $N$ bulabiliriz ki $m\gt N$ için $\epsilon\ge \dfrac{ac^m}{1-c}$ eşitsizliği sağlanacağından kanıt tamamlanır.
Aynı zamanda gerçel sayılar kümesinde her Cauchy dizisi yakınsak olduğundan büzüşen dizi de yakınsaktır.