$|G|>2$ ise $G$ grubunun birden fazla özyapı dönüşümü vardır.

1 beğenilme 0 beğenilmeme
118 kez görüntülendi
özyapı dönüşümü = otomorfizma = G'den kendisine giden birebir, örten, çarpmaya saygı duyan fonksiyon.
26, Ocak, 2015 Akademik Matematik kategorisinde Salih Durhan (1,082 puan) tarafından  soruldu

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
Eğer $G$ abelyen bir grup değilse $G$'nin merkezi $Z(G)$ içinde olmayan en az bir tane eleman olacaktır. Böyle bir $g$ elemanının tanımladığı $x\longmapsto gxg^{-1}$ özyapı dönüşümü birim dönüşümden farklıdır. Yani sav abelyen olmayan bütün gruplar için doğrudur.

O halde $G$ grubunun abelyen olduğunu var sayalım. Bu durumda $x\mapsto x^{-1}$ fonksiyonu $G$ abelyen olduğu için birebir ve örten bir homomorfizma tanımlar. Eğer $G$ grubunun elemanlarından en az bir tanesinin mertebesi $2$'den farklıysa bu fonksiyon birim fonksiyondan farklı bir fonksiyon olacaktır. Yani gösterilmesi gereken tek durum olarak $G$ grubunun abelyen ve bütün elemanlarının mertebesinin $2$ olduğu durum kaldı.

O halde $G$ grubunun abelyen olduğunu ve her elemanın mertesinin iki olduğunu varsayalım. $G$'nin eleman sayısı $2$'den fazla olduğu için $a\neq 1$, $b\neq 1$ ve $a\neq b$ şartlarını sağlayan $a$ ve $b$ elemanları vardır. Bu durumda $a$ ile $b$ elemanlarının yerlerini değiştiren ve diğer elemanları sabit tutan özyapı dönüşümü (bu neden bir özyapı dönüşümüdür?) birim fonksiyondan farklı olacaktır.
26, Ocak, 2015 Safak Ozden (3,375 puan) tarafından  cevaplandı
Son cümle yanlış ama ona benzer bir şey doğru!
Evet yanlis. Eger $xy=a$ esitligini ve $x\neq a,b$ ve $y\neq a,b$ sartlarini saglayan $x$ ve $y$ elemanlari varsa

\begin{equation}

f(xy)=f(a)=b

\end{equation}

ve

\begin{equation}

f(x)f(y)=xy=a

\end{equation} olur. Bu da ilk cevabin son durumunda tanimlanan fonksiyonun bir homomorfizma olmadigini gosterir.
Yoksa ne olacak?.. Daha kolayı: Eğer $x \neq 1, a, b, ab$ ise $ax \neq a, b$ olur ve dolayısıyla $ax = f(ax) = f(a)f(x) = bx$ ve $a=b$ olur. Çelişki.

Kanıtı tamamlamak için grubun iki elemanlı cisim üzerine en az 2 boyutlu bir vektör uzayı olduğunu kullanmak lazım. Bir tabanın iki elemanını değiştiren ama diğerlerini sabitleyen lineer transformasyon işi görür.
...