$a!=p^mk$ ise $m$ en cok kac olabilir?

Question

$p$ asal bir sayi ve $a>0$ bir tam sayi olsun.Gosteriniz: $$ord_p(a!)=\sum\limits_{n \geq 1} \bigg\lfloor \frac a{p^n} \bigg\rfloor.$$
Bu toplamin aslinda sonlu bir toplam oldugunu (yani belirli bir sureden sonra terimlerin sifir oldugunu) gosteriniz. Bir de terimler hangi $n$ sayisindan sonra surekli sifir olur, bunu da gosteriniz.

Comments

Not ya da ek: Burda $ord_p(a!)$ denilen sey, bizim istedigimiz maksimal $m$ degeri.

Answer 1

Icinde $(c,p)=1$ ve $k\geq1$ olacak sekilde bir $cp^k$ carpani barindiriyorsa bu bize $k$ adet $p$ carpani verir.

Toplamin icindeki ilk terim carpimda ne kadar $p$'nin kati oldugunu
Toplamin icindeki ikinci terim carpimda ne kadar $p^2$'nin kati oldugunu
$\vdots$
Toplamin icindeki $n$. terim carpimda ne kadar $p^n$'nin kati oldugunu veriyor.

$cp^k$ hem $p$, hem $p^2$, $\cdots$, hem $p^k$'nin kati oldugundan. Bu elemani tam olarak $k$
kere saymis oluyoruz. Kisacasi sol taraf sag toplama esit.

Bu toplam sonlu Cunku $p^k>a$ ise $\lfloor a/p^k \rfloor=0$ olur.