$\int _{x}^{xy}f\left( t\right) dt=g\left( y\right)$ ve $f(2)=2$ ise $\int _{1}^{x}f\left( t\right) dt=?$

1 beğenilme 0 beğenilmeme
87 kez görüntülendi


20, Haziran, 2015 Lisans Matematik kategorisinde emilezola69 (618 puan) tarafından  soruldu

http://matkafasi.com/13205/int-left-right-int-left-right-dt-int-left-right-dt%24-ve-%24f-3%24-ise

probleminin çözümüne benzer şekilde düşünürseniz, yapabilirsiniz.

İpucu : verilen ilk bilgiyi ($\int_x^{xy}f(t)\;dt$ integralinin değerinin $x$ ten bağımsız olduğunu anlıyorum ben) kullanarak :

$\int_1^{xy}f(t)\;dt=\int_1^xf(t)\;dt+\int_x^{xy}f(t)\;dt=\int_1^xf(t)\;dt+\int_1^yf(t)\;dt$ olur.

anladım şimdi, teşekkürler.

Çözümü nedir bunun? 

$F(x)=\int_1^xf(t)\;dt$ olsun ($f,\ (0,\infty)$ aralığında sürekli ise, $F$ de aynı aralıkta sürekli olur ve (Her $x,y>0$ için) $F(xy)=F(x)+F(y)$ olur. Buradan da, bahsettiğim soruda da belirtildiği gibi (biraz analiz ile) (bir $c\in\mathbb{R}$ için)  $F(x)=c\ln x$ elde edilir. Önce $f(t)$ bulunup daha sonran, $f(2)=2$ olşundan $c$ nin değeri bulunur.

...