Yerel Kapalı Küme

Question

$(X,\tau)$ topolojik uzay ve $A\subseteq X$ olmak üzere $A$ kümesinin yerel kapalı olması için gerek ve yeter koşul $A$ kümesinin en az bir açık küme ile kendisinin kapanışının arakesiti şeklinde yazılabilmesidir.

Not: Bir topolojik uzayda bir açık küme ile bir kapalı kümenin arakesiti şeklinde yazılabilen kümelere yerel kapalı küme deniyor.

Biçimsel olarak şöyle yazabiliriz:

$(X,\tau)$ topolojik uzay ve $A\subseteq X$ olmak üzere

$$A\in LC(X)\Leftrightarrow (\exists U\in \tau)(A=U\cap cl(A)).$$

$LC(X):=\{A\subseteq X|A, \text{ yerel kapalı}\}=\{A\subseteq X|(\exists U\in\tau)(\exists V^c\in\tau)(A=U\cap V)\}$

Answer 1

Kanıt: $(\Leftarrow):$ Açık veya şöyle kısa bir kanıt verebiliriz:

 

$\left.\begin{array}{rr} V:=cl(A) \\ \\ \text{Hipotez}  \end{array}\right\}\Rightarrow (\exists U\in\tau)(\exists V^c\in\tau)(A=U\cap V)\Rightarrow A\in LC(X).$

 

$(\Rightarrow):$ $A\in LC(X)$ olsun.

$A\in LC(X)\Rightarrow (\exists U\in\tau)(\exists V^c\in\tau)(A=U\cap V)$

$\Rightarrow (\exists U\in\tau)(A\subseteq cl(A)=cl(U\cap V)\subseteq cl(U)\cap cl(V)=cl(U)\cap V)$

$\Rightarrow (\exists U\in\tau)(A=U\cap A\subseteq U\cap cl(A)=U\cap cl(U\cap V)\subseteq U\cap (cl(U)\cap cl(V))=U\cap (cl(U)\cap V)=U\cap V=A)$

$\Rightarrow (\exists U\in\tau)(A=U\cap cl(A)).$