$n!\geq n^{\frac n2}$ olduğunu gösteriniz

0 beğenilme 0 beğenilmeme
80 kez görüntülendi
18, Şubat, 2015 Serbest kategorisinde yavuzkiremici (1,757 puan) tarafından  soruldu
19, Şubat, 2015 DoganDonmez tarafından düzenlendi

1 cevap

2 beğenilme 0 beğenilmeme
Yine tümevarım dışında bir yöntem kullanmak istedim. Bu sayede eşitsizliğin 'neden' sağlandığını görmek daha kolay oluyor, sezgi biraz daha öne çıkıyor.

Öncelikle $n$ sayısının çift olduğunu varsayalım ve $n!$ sayısını açalım;
\begin{equation} n\times(n-1)\times(n-2)\times\dots\times3\times2\times1.\end{equation} Şimdi dışarıdan içeriye doğru bir baştan bir de sondan sayı alarak çarpma işlemi uygulayalım;
\begin{equation} n\times1, (n-1)\times2,(n-2)\times3,\dots.\end{equation} Bu çarpımların her biri $n$'den büyük veya $n$'ye eşit ve tam olarak $n/2$ adet çarpım var. O halde hepsini taraf tarafa çarparsak,
\begin{equation} n!\geq n^{n/2}\end{equation} eşitsizliğini elde ederiz. Şimdi $n$ sayısı tek olsun. Bu durumda faktoriyel fonksiyonundaki ortanca terim $\frac{n+1}{2}$ olur; 
\begin{equation} n\times(n-1)\times(n-2)\times\dots\times\frac{n+1}{2}\times\dots\times3\times2\times1.\end{equation} Açık ki $\frac{n+1}{2}\geq\sqrt{n}$. Diğer terimler için yukarıda yaptığımız işlemin aynısını uygularsak, elimizde tam olarak $(n-1)/2$ tane, $n$'den büyük veya $n$'ye eşit çarpım olur;
\begin{equation} n\times1, (n-1)\times2,(n-2)\times3,\dots.\end{equation} Son olarak tüm bu terimleri taraf tarafa çarpalım;
\begin{equation} n!\geq n^{(n-1)/2}\times \sqrt{n}=n^{n/2} .\end{equation}
19, Şubat, 2015 Enis (1,075 puan) tarafından  cevaplandı

final sınavımızda çıkan sorunun bir kısmı buydu. neredeyse 45 dakikamı sadece bu parçasını çözmek için harcamıştım. tümevarım kullanmıştım ama bu çözüm de çok iyiymiş. teşekkürler :)

...