$1 + 2^x + 2^{2x+1} = y^2$ denkleminin bütün tamsayı çözümlerini bulun.

2 beğenilme 0 beğenilmeme
196 kez görüntülendi

$1 + 2^x + 2^{2x+1} = y^2$ denkleminin bütün tamsayı çözümlerini bulun.

25, Ocak, 2015 Orta Öğretim Matematik kategorisinde Salih Durhan (1,271 puan) tarafından  soruldu
14, Şubat, 14 alpercay tarafından düzenlendi

2 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme
Verilen denklemi $$2^x(2^{x+1}+1)=y^2-1$$ şeklinde yazabiliriz. Eğer $x \leq  -2$ ise bu denklemin sol tarafı bir tamsayı olmıyacağından $x \geq -1$ kabul edebiliriz. Ayrıca $x= -1$  in bir çözüm olmadığı kolayca görülebilir. Bu nedenle $x\geq 0$ kabül edebiliriz.  Kolayca $2^x$ ve $2^{x+1} +1$  tamsayılarının aralarında asal oduğunu görebiliriz. Bu nedenle ya $y^2-1|2^x$  ya da  $y^2-1|2^{x+1}+1$  dır.  

Eğer $y^2-1|2^x$ ise yukarıdaki eşitlikten   $2^x | y^2-1$ olur. Böylece  $2^x = y^2-1$ elde edilir. Bu da yukarıdaki eşitlikten dolayı   $2^{x+1}+1 =1$ sonucunu verir ki bu imkansızdır.

Eğer   $y^2-1|2^{x+1}+1$ ise yine  ayni mantıkla  $y^2-1=2 ^{x+1}+1$ elde ederiz ki bu da  $2^x=0$ sonucunu verir. Bu ise sadece $x=0$ için mümkündür. $x=0$ ise $y^2=4$ olur. Yani $y=2$  veya  $y=-2 $ olur. Öyleyse verilen denklemin tamsayı çözümleri sadece $(x,y)=(0,2) $ ve $(x,y) = (0,-2) $ dır.
29, Ocak, 2015 nbatir (59 puan) tarafından  cevaplandı
0 beğenilme 0 beğenilmeme


Warning: imagecreatetruecolor() [function.imagecreatetruecolor]: Invalid image dimensions in /home/salih1/public_html/qa-include/util/image.php on line 145

Warning: imagecolorallocate() expects parameter 1 to be resource, boolean given in /home/salih1/public_html/qa-include/util/image.php on line 146

Warning: imagefill() expects parameter 1 to be resource, boolean given in /home/salih1/public_html/qa-include/util/image.php on line 147
image
Warning: imagecreatetruecolor() [function.imagecreatetruecolor]: Invalid image dimensions in /home/salih1/public_html/qa-include/util/image.php on line 145

Warning: imagecolorallocate() expects parameter 1 to be resource, boolean given in /home/salih1/public_html/qa-include/util/image.php on line 146

Warning: imagefill() expects parameter 1 to be resource, boolean given in /home/salih1/public_html/qa-include/util/image.php on line 147
image

6, Şubat, 2015 yavuzkiremici (1,753 puan) tarafından  cevaplandı
6, Şubat, 2015 yavuzkiremici tarafından yeniden gösterildi
...