$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1$

0 beğenilme 0 beğenilmeme
74 kez görüntülendi

$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1$  denklemini doğal sayılarda çözünüz.

İlgili soru

14, Şubat, 14 Orta Öğretim Matematik kategorisinde alpercay (1,775 puan) tarafından  soruldu

$x=y=z=3$ esitligi saglar..


Başka çözümler de var.

(x,y,z) bir çözüm ise (4,4,2),(4,2,4),(2,4,4) birer çözümdür.

(2,3,6) çözümü de var

Simetriden dolayı $(4,4,2)$ çözümünü vermek yeterli aslında. 

Bu soruya cevap verildiğini düşünüyorum. Sitede soru bulmak zor olduğundan hangi soru ve cevap altında olduğunu bilmiyorum. 

Soru sayısı arttıkça site arama motoru daha da kötü bir hal aldı. Anahtar kelime vs pek sallamıyor. Kendi sorularımı bile bulamıyorum. 

Bayağı bi aradım fakat göremedim aynısından. Ama x ve y lisi sorulmuş birkaç kere. Yine de belli olmaz. Yorumlarımıza da ulaşabilsek ilgilendiğimiz sorulara daha kolay erişebilirdik. 

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$x\leq y\leq z$ varsayabiliriz. (daha sonra permütasyon ile tüm çözümleri buluruz)

$x>1$ olacağı kolay.

$x\geq3$ ise $x=y=z=3$ olmak zorunda. 

Öyleyse geriye sadece $x=2$ durumu kalır.

$x=2$ ise $\frac1y+\frac1z=\frac12$ olması gerekli ve yeterlidir.

Bu da $yz=2(y+z)$ olması demektir. Önceki sorudaki gibi:

$(y-2)(z-2)=4$ denklemine eşdeğerdir.

Bu da, $2\leq y\leq z$ olduğunu da göz önüne alarak,

$y-2=z-2=2$ ya da $y-2=1,z-2=4$ olmalıdır.

Bunlar da $y=z=4$ ve $y=3,z=6$ çözümlerini verir.

Sonuç olarak $x\leq y\leq z$ şeklindeki çözümler:

$(3,3,3),\ (2,4,4),\ (2,3,6)$ olur.

Bunların permütasyonları tüm çözümleri verir.

15, Şubat, 15 DoganDonmez (4,434 puan) tarafından  cevaplandı
...