$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n n^2}=?$$

0 beğenilme 0 beğenilmeme
89 kez görüntülendi

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n n^2}$$ toplamını bulabilir miyiz? 

5, Şubat, 5 Lisans Matematik kategorisinde murad.ozkoc (9,814 puan) tarafından  soruldu

Benim son iki sorum, bu toplamı hesaplamak için hazırlık idi.

Ben de sizin son iki sorunuzu farklı bir çözüm sunmak için bu toplamın sonucunu sormuştum.

1 cevap

2 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

$|x|\leq1$ için $f(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n^2}$ olsun (Abel in makalesinde de aynı fonksiyon var)

$|x|<1$ için $f'(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{x^{n-1}}{n}$ ve $xf'(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n}=-\ln(1-x)$ olur.

Buradan ($f(0)=0$ olduğunu da kullanarak) , 

Her $|x|<1$ için $f(x)=-\int_0^x\frac{\ln (1-t)}t\,dt$ olduğu görülür.

Bu eşitlikten de (Abel in makalesinin sonunda görülen):

(http://matkafasi.com/124575/%24-int_0-frac12-frac-ln-1-x-x-dx%24-integralini-hesaplayiniz sorusunda da gösterilen)

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n n^2}=\textstyle f(\frac12)=\displaystyle-\int_0^{\frac12}\frac{\ln (1-t)}t\,dt=\frac{\pi^2}{12}-\frac12(\ln2)^2$ 

elde edilir.

6, Şubat, 6 DoganDonmez (4,474 puan) tarafından  cevaplandı
9, Şubat, 9 DoganDonmez tarafından düzenlendi
...