$n^{30}+1$ sayılarının en küçük asal bölenleri

1 beğenilme 0 beğenilmeme
111 kez görüntülendi

Problem (Lokman Gökçe): $n$ bir pozitif tam sayı olmak üzere $n^{30}+1$ sayısının en küçük asal böleni $p_n$ ise $$ \sum_{n=1}^{102}p_n$$ toplamının $12$ ile bölümünden kalan kaçtır?

$\textbf{a)}\ 6 \qquad\textbf{b)}\ 7 \qquad\textbf{c)}\ 8 \qquad\textbf{d)}\ 9 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri} $



Not: Problemin çözümü, etiketlerdeki ve buradaki fikirleri içermektedir.

23, Ocak, 23 Lisans Matematik kategorisinde lokman gökçe (837 puan) tarafından  soruldu
23, Ocak, 23 lokman gökçe tarafından düzenlendi

Yanlis cevabi ekleyim:
$n$ tek bir sayi ise en kucuk asal boleni $2$ olur. $n$ cift ise en kucuk asal boleni altindaki mertebesi $60$ olur. Bu da bu asalin $60k+1$ fornumda oldugunu verir. Dolayisiyla istenen sayi $$2\cdot 50+1\cdot 50 \equiv 6 \mod 12$$ denkliginde olur.

Teşekkürler Sercan bey, Cevabınız doğru ancak açıklamada eksiklik var. Mertebe neden $60$ olsun? $60$'ın diğer pozitif tam bölenlerinden biri olabilir mi? Olamazsa neden olamaz? Burayı da açıklarsanız çözümünüz tamamlanmış olacaktır. 

(Dedigin ile birlikte - dogal olarak) $60k+1$ kismi hatali. Bu nedenle yanlis cevap olarak gecirdim. $(n^{15})^4\equiv 1 \mod p$ olarak bakmak daha yerinde.

Mesela $n=2$ ise $2^{30}+1\equiv 2^{4\cdot 7+2}+1\equiv2^2+1\equiv 0 \mod 5$.

Sercan bey şöyle bir ipucu vereyim: mertebe ya $60$ ya da $12$ olmalıdır. Diğer bölenler mertebe olamaz. Bunu gösterirseniz yardımcı olacaktır.

2nin  mod5te mertebesi 4?

Mertebe 30un böleni olmayan ama 60nın böleni olan sayılar arasında olmalı. Hepsi 4ün katı. 4,12,20,60 olabilir. 4 olabiliyor. 

Evet, mertebe 12 ve 60 dışında 20 ve 4 olabiliyor. Bunları hatalı hesapladım. O halde soruyu düzenlemem gerekiyor.

Düzeltme yapıldı: Toplamın üst sınırı $100$ yerine $102$ yapılarak soruldu.

Wolfram bağlantısı... Basit bir yöntem göremedim. 

12den kalanları kümesinin eleman toplamı da sorulabilir. 

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Hatalı Çözümüm: $n$ tek sayı ise $n^{30}+1$ çift sayı olduğundan en küçük asal böleni $2$ dir. Bu şekilde $51$ tane değer oluşacağından $n$ nin tek değerlerinin toplama katkısı $2\cdot 51 = 102$ dir.


Şimdi $n$ nin çift değerlerini inceleyelim. $n^{30}+1$ sayısını bölen en küçük asal sayı $p$ ise $n^{30}+1 \equiv 0 \pmod{p} $ olup $n^{30} \equiv -1 \pmod{p}$ ve $n^{60} \equiv 1 \pmod{p}$ elde edilir. Buradan $n$ nin $\mod{p}$ deki mertebesinin $60$ veya $60$'ın bir pozitif böleni olabileceğini anlarız. Öte taraftan bu mertebe $30$ veya $30$'un bir böleni olamaz. Dolayısıyla $1\leq n \leq 102$ çift sayısının $\mod{p}$ deki mertebesi $4, 12, 20, 60$ değerlerinden birine eşit olacaktır. Fermat teoreminden dolayı $n^{p-1}\equiv 1 \pmod{p}$ olduğunu biliyoruz. Böylece $4|p-1$, $12|p-1$, $20|p-1$ veya $60|p-1$ olur. Her durumda, bir $k_n\in \mathbb Z$ için $p_n=4k_n+1$ formundadır. Bu şekildeki $51$ tane sayının hepsini hata ile $4k+1$ ile göstererek çift $n$ ler için toplamı $51\cdot (4k+1) $ yazdım. Böylece $$ \sum_{n=1}^{102} p_n = 102 + 51\cdot (4k+1) \equiv 9 \pmod{12}$$ elde ettim. Hatalı yanıtım $\boxed{C}$ oluyor.


Çözümün Doğru Biçimi: Çift $n$ değerleri için $p_n$ değerlerini ve bunların $\mod{12}$ deki değerlerini gerçekten bulmak gerekiyor gibi görünüyor. Sercan bey'in ilettiği wolframalpha bağlantısından faydalanarak $n=2,4,6, \dots, 100, 102$ için $p_n \pmod{12}$ dizisi

$$ 5, 5, 1, 5, 1, 5, 1, 1, 5, 1, 5, 1, 1, 5, 5, 5, 1, 5, 5, 1, 5, 1, 1, 5, 1, 5, 1, 5, 5, 1, 5, 5, \\ 1, 5, 1, 5, 5, 1, 5, 1, 5, 1, 1, 5, 5, 5, 1 , 1, 5, 1, 5 $$ elde ediliyor. Tüm bunların toplamından $$ \sum_{n=1}^{102} p_n \equiv 102 + 163 \equiv 1 \pmod{12}$$ bulunur. Doğru yanıt $\boxed{E}$ dir.

27, Ocak, 27 lokman gökçe (837 puan) tarafından  cevaplandı
17, Mart, 17 lokman gökçe tarafından düzenlendi

Bunları uğraşarak mod 12 olmadan da hesaplamak mümkün. Tabii bir döngüsellik gelmiyor gibi gözüküyor. 

Arada aklıma şu ilginç soru geldi. Bu hiç döngüsel gibi durmuyor. (çift n let için) yanyana ondalık gibi 12 tabanında yazsak irasyonel hatta aşkın olur mu?

Uğraşan olur mu bilmem ama manalı/manasız belli olmasa da ilginç bir soru. 

Son dizideki 1 ler  yerine sayının kendisi ($n^{30}+1$) olması gerekmez mi ? (1 asal değil)

Onlar mod 12 alınmış hali. Aralarında 61 ve 401 de var. Fakat mod olarak 1e ve 5e denkler. 

Evet, dikkat etmemişim.

...