$(\mathbb{R},\mathcal{U})$ alışılmış topolojik uzayında $(1,2]$ kümesinin $\mathcal{U}$-kompakt olmadığını kompaktlık tanımını kullanarak gösteriniz.

0 beğenilme 0 beğenilmeme
116 kez görüntülendi

$(\mathbb{R},\mathcal{U})$ alışılmış topolojik uzayında $(1,2]$ kümesinin $\mathcal{U}$-kompakt olmadığını kompaktlık tanımını kullanarak gösteriniz.

12, Ocak, 12 Lisans Matematik kategorisinde HakanErgun (163 puan) tarafından  soruldu
12, Ocak, 12 murad.ozkoc tarafından düzenlendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$\mathcal{A}=\{(1+ \frac{1}{n} , 3)  \big{|} n\in\mathbb{N} \}\subseteq\mathcal{U} \ $ ve $\ (1,2]\subseteq\cup\mathcal{A} $ olduğundan $\mathcal{A}$ ailesi , $(1,2]$ kümesinin bir $\ \mathcal{U} -$ açık örtüsüdür.


$\mathcal{A}^* \subseteq\mathcal{A} $ , $|\mathcal{A}^*|<\aleph_0$  ve $(1,2]\subseteq\cup\mathcal{A}^*$ olduğunu varsayalım.

$(\mathcal{A}^* \subseteq\mathcal{A})(|\mathcal{A}^*|<\aleph_0) \Rightarrow (\exists \{n_1,n_2,n_3,...,n_k \}\subseteq\mathbb{N})(\mathcal{A}^*=\{(1+ \frac{1}{n_i} , 3) \big{|} i\in\{1,2,3,...,k \}\})$

$\Rightarrow \begin{array}{c} \\  \left. \begin{array}{rr} (n_0:=max\{n_1,n_2,...,n_k \} +1 \in\mathbb{N} ) (1+ \frac{1}{n_0}\notin\cup\mathcal{A}^*) \\  (1,2]\subseteq\cup\mathcal{A}^* \end{array}\right\} \Rightarrow \text{Çelişki.} \end{array}$
12, Ocak, 12 HakanErgun (163 puan) tarafından  cevaplandı
13, Ocak, 13 HakanErgun tarafından düzenlendi

İspat zinciri sağlıklı değil Hakan. İspat zincirini bir daha gözden geçirsene.

Hocam düzelttim eksik olan şeyleri başka göremedim. Sağlıksız durum devam ediyor mu?

$\Rightarrow$ bulunan yerlere tekrar bak. Şunu demek istiyorum. Alttan 3. satırdaki bilgiden alttan 2. satırdaki bilgi elde edilebilir mi?

$ \cdots \\ \Rightarrow \begin{array}{c} \\  \left. \begin{array}{rr} (\exists\{n_1,n_2,...,n_k \}\subseteq\mathbb{N}) (n_0:=max\{n_1,n_2,...,n_k \} +1 \in\mathbb{N} ) (1+ \frac{1}{n_0}\notin\cup\mathcal{A}^*) \\  (1,2]\subseteq\cup\mathcal{A}^* \end{array}\right\} \Rightarrow \text{Çelişki.} \end{array}$ 

Bu şekilde olması mı doğru hocam. Çünkü ben başka  bir kopukluk göremiyorum.(Ya da gözden kaçırıyorum.)

$$\mathcal{A}:=\left\{\left(1+ \frac{1}{n}, 3\right)  \big{|} n\in\mathbb{N} \right\}\subseteq\mathcal{U} \ $$ ve $$\ (1,2]\subseteq (1,3)=\cup \mathcal{A} \ $$ olduğundan $\mathcal{A}$ ailesi, $(1,2]$ kümesinin bir $\ \mathcal{U}$-açık örtüsüdür. Şimdi bu açık örtünün sonlu bir altörtüsünün olduğunu yani $\mathcal{A}^* \subseteq\mathcal{A} $ , $|\mathcal{A}^*|<\aleph_0$  ve $(1,2]\subseteq\cup\mathcal{A}^*$ olduğunu varsayalım. $\mathcal{A}$ açık örtüsünün sonlu bir altörtüsünün olduğunu varsaydığımızda


$\left.\begin{array}{rr}(\mathcal{A}^* \subseteq\mathcal{A})(|\mathcal{A}^*|<\aleph_0) ((1,2]\subseteq\cup\mathcal{A}^*)\Rightarrow (\exists \{n_1,n_2,n_3,...,n_k \}\subseteq\mathbb{N})\left(\mathcal{A}^*=\{(1+ \frac{1}{n_i},3) \big{|} i\in\{1,2,3,...,k \}\}\right)\left((1,2]\subseteq\cup\mathcal{A}^*\right)\\ \\ n_0:=\max\{n_1,n_2,...,n_k \} +1 \in\mathbb{N} \end{array}\right\}\Rightarrow $

$\Rightarrow (1+ \frac{1}{n_0}\notin\cup\mathcal{A}^*)(1+ \frac{1}{n_0}\in (1,2]\subseteq\cup\mathcal{A}^*)$

$\Rightarrow (1+ \frac{1}{n_0}\notin\cup\mathcal{A}^*)(1+ \frac{1}{n_0}\in \cup\mathcal{A}^*)$

çelişkisini elde ederiz.

Güzel olmuş hocam. Ellerinize sağlık.

...