$f_{n-1}\cdot f_n+f_n\cdot f_{n+1}=f_{2n}$ eşitliğinin ispatı

0 beğenilme 0 beğenilmeme
120 kez görüntülendi

Fibonacci dizisi, $f_0=0$, $f_1=1$ ve $n\geq2$ için $f_{n-2}+f_{n-1}=f_n$ olmak üzere

$f_{n-1}\cdot f_n+f_n\cdot f_{n+1}=f_{2n}$

eşitliğini ispatlayınız.

Ben $n$ üzerine tümevarımla çözmeyi denedim ama sonuca ulaşamadım.

6, Ağustos, 6 Orta Öğretim Matematik kategorisinde emresafa (161 puan) tarafından  soruldu
6, Ağustos, 6 DoganDonmez tarafından düzenlendi

Tümevarım adımında ne yaptığını yazabilir misin emresafa?

$f_{0}\cdot f_1+f_1\cdot f_{2}=f_{2}$

$0\cdot 1+1\cdot 1=1=f_2$ geliyor yani 

$n=1$ için eşitlik doğru.

Şimdi 

$f_{n-1}\cdot f_{n}+f_{n}\cdot f_{n+1}=f_{2n}$

olduğunu varsayıp

$f_{n}\cdot f_{n+1}+f_{n+1}\cdot f_{n+2}=f_{2n+2}$ 

göstermeye çalışalım.

Varsayımdaki $f_n\cdot f_{n+1}$ ifadesini yalnız bırakıp doğruluğunu göstermeye çalıştığımız ifadede yerine yazalım. O zaman:

$f_{2n}-f_{n-1}\cdot f_{n}+f_{n+1}\cdot f_{n+2}=f_{2n+2}$ 

elde ederiz. $f_{2n}$'yi karşı tarafa atalım.

$f_{n+1}\cdot f_{n+2}-f_{n-1}\cdot f_{n}=f_{2n+1}$  Bu noktadan sonra

$\displaystyle\sum_{k=1}^n f_{k}^2=f_n\cdot f_{n+1}$

$1+\displaystyle\sum_{k=1}^n f_{2k}=f_{2n+1}$

gibi eşitlikleri ifadede yerine yazdım ama bir sonuç gelmedi.

Şimdi ispatlamayı başardım.

$f_{n+1}\cdot f_{n+2}-f_{n-1}\cdot f_{n}=f_{2n+1}$ eşitliğinin sol tarafına $f_{n}\cdot f_{n+1}$ ifadesini ekleyip çıkartırsak:

$f_{n+1}\cdot f_{n+2}-f_{n-1}\cdot f_{n}-f_{n}\cdot f_{n+1}+f_{n}\cdot f_{n+1}=f_{2n+1}$ eşitliğini elde ederiz.

Varsayımımızdan

$f_{n-1}\cdot f_{n}+f_{n}\cdot f_{n+1}=f_{2n}$ olduğunu biliyoruz. Eşitlikte yerine yazalım.

$f_{n+1}\cdot f_{n+2}-\left(f_{n-1}\cdot f_{n}+f_{n}\cdot f_{n+1}\right)+f_{n}\cdot f_{n+1}=f_{2n+1}$

$=f_{n+1}\cdot f_{n+2}-\left(f_{2n}\right)+f_{n}\cdot f_{n+1}=f_{2n+1}$

$\Rightarrow f_{n+1}\cdot f_{n+2}+f_{n}\cdot f_{n+1}=f_{2n+1}+f_{2n}=f_{2n+2}$

Sonuç olarak

$f_{n}\cdot f_{n+1}+f_{n+1}\cdot f_{n+2}=f_{2n+2}$ eşitliğini kanıtlamış oluruz. Peki tümevarım dışında bunu ispatlamanın yöntemleri neler? Tümevarımla ispatı yalnız cevabını bildiğimiz önermelerde kullanabildiğimiz için beni pek tatmin eden bir ispat yöntemi değil. 



Bu ispat tam olmadı sanrım emresafa.

(İlk yorumundaki "doğruluğunu göstermeye çalıştığımız ifadede yerine yazalım" daki) $f_{n+1}\cdot f_{n+2}-f_{n-1}\cdot f_{n}=f_{2n+1}$ eşitliği, zaten ispatlanmak istenen eşitlikten elde edilmişti.

İspatlarda, iddia edilen eşitlikle başlamak iyi fikir değildir.

Evet hocam o kısmı ihmal etmişim. Nasıl bir yol izleyeceğim konusunda fikrim yok. $n$. Fibonacci terimlerinden $2n$. terime nasıl ulaşacağımı bilmiyorum. Daha yeni uyarınızla birlikte tekrar çözmeye çalıştım. Karşıma $f_{n-1}^2+f_n^2=f_{2n-1}$ denklemi çıktı. Onu tümevarımla çözmeye çalıştım onda da karşıma $f_{n-1}+f_{n+1}=\dfrac{f_{2n}}{f_n}$ denklemi geldi. Her seferinde yeni bir problem geliyor. Bir türlü başaramadım.

(Tümevarım kullanmadan) Şu sorudaki formülü kullanmayı deneyebilirsin.

...