$\sup \{\sin n:n\in\mathbb{N}\}=1$ olduğunu gösteriniz

0 beğenilme 0 beğenilmeme
58 kez görüntülendi

İlgili soruda $\mathbb{Z}$ yerine $\mathbb{N}$ olsa da sonucun değişmediğini gösteriniz.

bir cevap ile ilgili: $\sup A=1$ olduğunu gösteriniz
28, Temmuz, 28 Lisans Matematik kategorisinde DoganDonmez (4,061 puan) tarafından  soruldu
Eşitliğin bir yönü için şunu yazabiliriz. $$\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}$$ olduğundan $$\{\sin n |n\in \mathbb{N}\}\subseteq\{\sin n |n\in \mathbb{Z}\}$$ olur. Dolayısıyla $$\sup\{\sin n |n\in \mathbb{N}\}\leq\sup\{\sin n |n\in \mathbb{Z}\}=1$$ elde edilir.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$\varepsilon>0$ verilsin ($\varepsilon<1$ varsayabiliriz, aksi halde işimiz çok kolay)

Önceki sorudaki gibi, $|\sin m-1|<\frac12\varepsilon$ olacak şekilde bir $m\in\mathbb{Z}$ bulabiliriz.

Eğer bu $m\geq0$ ise işimiz bitmiştir ($|\sin m-1|<\frac12\varepsilon<\varepsilon  $).

$m<0$ ise, (Şu sorudan) $ H=<m-1,2\pi>,\ \mathbb{R} $ de yoğun olduğu için (neden?),$0< |(m-1)l+2k\pi|<\frac12\varepsilon $ olacak şekilde $l,k\in\mathbb{Z}$ vardır ve $l\neq0$ olur (niye?)

$ |(m-1)(-l)+2(-k)\pi|<\frac12\varepsilon $ olduğu için $ l<0 $ varsayabiliriz.

$n=m+(m-1)l\in\mathbb{N}$ olur.

$ |\sin n-1|=|(\sin n-\sin m)-(\sin m -1)|\leq|\sin n-\sin m|+|\sin m -1|\\=|\sin(m+(m-1)l) -\sin m|+|\sin m -1|\\=|\sin(m+(m-1)l+2k\pi) -\sin m|+|\sin m -1|\\\leq|(m+(m-1)l+2k\pi) - m|+|\sin m-1|\\=|(m-1)l+2k\pi|+|\sin m-1|<\frac12\varepsilon+\frac12\varepsilon=\varepsilon $

13, Ağustos, 13 DoganDonmez (4,061 puan) tarafından  cevaplandı
13, Ağustos, 13 DoganDonmez tarafından düzenlendi

Bu önermenin de, kompakt topolojik gruplarda doğru olan genel bir şekli vardır.

...