Her $a, b\in (G,\circ) $ için $(ab) ^2=a^2b^2$ $\Leftrightarrow$ $ab=ba$

0 beğenilme 0 beğenilmeme
68 kez görüntülendi

önermenin sol tarafını kanıtladım sağ tarafı içinse ilerleme kaydedemedim (başarısız denemelerimi telefondan yazmaya üşendim doğrusu) yardımcı olursanız sevinirim. 


8, Temmuz, 2019 Lisans Matematik kategorisinde justkrm (51 puan) tarafından  soruldu
9, Temmuz, 2019 DoganDonmez tarafından düzenlendi

Cevabı sitede olmalı. 

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$\Rightarrow$ $(ab)^2=a^2b^2$ olsun. Sol tarafi $(ab)^2=(ab)(ab)$ diye yazabiliriz.


$(ab)(ab)=a^2b^2$ olur. Bu esitligi soldan $a^{-1}$ ile ve sagdan $b^{-1}$ ile carpalim.


$a^{-1}(ab)(ab)b^{-1}=a^{-1}a^2b^2b^{-1}$

$a^{-1}ababb^{-1}=a^{-1}a^2b^2b^{-1}$

$ba=ab$ olur.


$\Leftarrow$ $ba=ab$ olsun.

$(ab)^2=(ab)(ab)=abab=aabb=a^2b^2$



8, Temmuz, 2019 OkkesDulgerci (1,948 puan) tarafından  cevaplandı
0 beğenilme 0 beğenilmeme

(ab)2=a2b2 ab=ba

(ab)2=a2b2

    (ab)(ab)=aabb
    a(ba)b=a(ab)b

    a-1a(ba)b=a-1a(ab)b

    e(ba)b=e(ab)b
    (ba)b=(ab)b
    (ba)b-1=(ab)bb-1
    (ba)e=(ab)e
    ba=ab

ab=ba
     abb=bab
     aabb=abab

     a2b2=(ab)(ab)

Kullanılan özellikler:
1)İkili işlemin iyi tanımlılığı
2)Gruplarda birleşme özelliği
3)Gruplarda ters eleman özelliği
4)Gruplarda birim eleman özelliği

8, Temmuz, 2019 utkufidan95 (35 puan) tarafından  cevaplandı
...